Направи дарение на училище!

Автор: Алфред Рени, превод: Александър Андронов, редакция: Светла Василева, научен редактор и бележки: Лъчезар Томов

ВЪВЕДЕНИЕ

Разбери повече за БГ Наука:

***

Следващите съображения относно преподаването на теория на вероятностите са от общ характер и не се ограничават нито до конкретен тип образователна институция, нито до конкретен кръг от ученици. Засегнатите  проблеми възникват независимо от формата, в която се преподава теорията на вероятностите. Възнамерявам да засегна три основни въпроса:

1. Защо да се преподава теория на вероятностите?
2. Какво трябва да се преподава в курса по теория на вероятностите?
3. Как трябва да се преподава теорията на вероятностите?

По този начин ще се съсредоточим върху целите, съдържанието и методите на преподаване на теория на вероятностите. Бележките ми по темата произхождат от личен опит. Изразените мнения са формирани в хода на образователната работа в университетите и лекциите по теория на вероятностите във вечерните курсове в университета в Будапеща (където част от аудиторията са ученици, интересуващи се от математика) и по телевизията (където цикълът от лекции е предназначен за много широк и разнообразен кръг от зрители, много млади и възрастни, значително различаващи се по интереси и ниво на познания).

1. ЗАЩО Е НЕОБХОДИМО ДА СЕ ПРЕПОДАВА ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ

На пръв поглед изглежда, че точен отговор на този въпрос може да се даде, само ако се знае под каква форма и на какво ниво се преподава теория на вероятностите.

Въпреки това съм дълбоко убеден, че някои общи изявления по тази тема все още могат да бъдат направени, без каквито и да било уточняващи предположения. Имам предвид основните цели на обучението по теория на вероятностите. Според мен те трябва да бъдат поставени от всеки, преподаващ който и да е клон на теорията, макар акцентът, разбира се, може да варира в зависимост от вида на образователната институция. И така, смятам, че при избора на основните цели на всеки курс по теория на вероятностите, човек трябва да се ръководи от следните мотиви.

А) Теорията на вероятностите трябва да се преподава, защото тя играе важна роля в развитието на мисленето на учениците.

Б) Теорията на вероятностите трябва да се преподава, защото нейните заключения намират приложение в ежедневието, науката, технологиите и т.н.

Б) Теорията на вероятностите трябва да се преподава, защото има важна, с нищо друго несравнима стойност за обучението по математика.

Нека накратко коментираме тези аргументи.

А) Един от професорите от юридическия факултет на Университета в Будапеща обичаше да задава на студентите си по време на устния изпит следния въпрос: „Какво ще видите, когато погледнете Будапеща от хълма Гелерт?“ Предполагаемият отговор трябваше да гласи: „Обекти и субекти на правото”.

Не знам какво би казал почитаемият професор, ако някой от студентите реши да отговори: „Случаен процес“. Най-вероятно професорът би счел такъв отговор за неправилен, въпреки че е не по-малко правилен от очаквания. Запознаването с основните понятия на теорията на вероятностите е необходимо, за да можем да познаем света около нас и да създадем една от научно обоснованите картини на този свят. Преподаването на който и да е раздел по математика има благоприятен ефект върху умственото развитие на учениците, тъй като възпитава уменията им за ясно логическо мислене, опериращо с ясно определени понятия. Всичко, което беше казано за преподаването на който и да е клон на математиката, се отнася с пълна сила и за преподаването на теория на вероятностите, но преподаването на „законите на случайността“ играе донякъде голяма роля и надхвърля обичайното.

Участвайки в курс по теория на вероятностите, студентът се научава как да прилага техниките на логическото мислене в случаите, когато трябва да се справим с несигурността (а такива случаи на практика почти винаги се срещат).

Изучаването на теорията на вероятностите също има положителен ефект върху характера на учениците, развивайки например смелост, тъй като им позволява да разберат, че при определени обстоятелства неуспехите могат просто да бъдат приписани на случайности и следователно, след като се провалите, не трябва да се откажете от борбата за постигане на набелязаната цел. Хората, които са на ниско ниво на развитие, са склонни към прекомерна подозрителност: каквото и нещастие да им се случи, те са склонни да го приписват на злонамерените намерения на някой друг, дори ако подобни изявления са лишени и от най-малко основание. Това се обяснява с факта, че примитивните хора не са запознати с такова понятие като случайност. Преподаването на теория на вероятностите може да бъде от несъмнена полза, тъй като ви позволява най-накрая да скъсате с останките от магическото мислене на каменната ера. Изучавайки теория на вероятностите, хората стават по-прощаващи и толерантни към другите и следователно по-лесно се вписват в живота на обществото.

Б) В ежедневието си постоянно трябва да се справяме със случайността и теорията на вероятностите ни учи как да действаме рационално, като отчитаме риска, свързан с вземането на индивидуални решения. Изборът на най-подходящата форма на застраховка може да послужи като добър пример за прилагането на теорията на вероятностите в ежедневието. Когато планирате семейния  бюджет или пътувате в чужбина, често трябва да прецените разходите от случаен произход.  Тези примери показват, че запознаването на едно или друго ниво със законите на случайността, е необходимо за всеки. Все по-голямо значение придобива приложението на теорията на вероятностите в науката, технологиите, икономиката и др. Ето защо все повече хора в процеса на работа имат нужда от изучаване на теорията на вероятностите.

Разбира се, продължителността на курса по теория на вероятностите зависи от вида на учебното заведение. Но не бива да се забравя и нещо друго: един съвременен образован човек, независимо от професията и вида на своето занятие, трябва да има поне най-обща представа за това, какво представляват атомната енергия, радиоактивността, генетиката и т.н. Списъкът с необходимите знания включва и запознаване, макар и много повърхностно, с най-простите понятия на теорията на вероятностите. В днешно време, когато прогнозата за времето съдържа съобщение за вероятността от дъжд утре, всеки трябва да знае какво всъщност означава това.

В) Изучаването на теорията на вероятностите допринася за по-доброто разбиране на връзката между реалността и математиката, математическите модели на реалността. Ако в курса по математика теорията на вероятностите се подминава с пълно мълчание, тогава учениците получават погрешна представа за истинската същност на математиката и нейните приложения. Хората, които не са запознати с теорията на вероятностите, споделят погрешното схващане, че математическите методи могат да се използват, само когато става въпрос за прости и точни връзки между точно измерими и изчислими величини. Често можете да чуете твърдението, че математическите методи не са подходящи за изследване и описание на определени явления, тъй като са „твърде сложни“. Подобен предразсъдък живее в умовете на хора, които не са изучавали нито математика, а още по-малко теорията на вероятностите. Точно тези, които поддържат тези фундаментално погрешни възгледи, доскоро възпрепятстваха (поне в някои страни) използването на математически методи в икономиката, социологията, биологията, психологията и други области на науката.

Невъзможно е да не споменем мнението на тези, които смятат, че преподаването на теория на вероятностите не излиза извън обхвата на математическите програми в образователни институции от средно или дори по-ниско ниво. Това мнение е в съответствие с други съвременни тенденции в преподаването на математика, което е лесно обяснимо: споделят го тези, които преподават теорията на вероятностите и прилагат нови тенденции в своята дейност.

Съвсем очевидно е, че обучението по теория на вероятностите се опростява, ако студентите са запознати предварително с теорията на множествата или с теорията на булевите алгебри. От друга страна, изучаването на теорията на вероятностите дава отличен повод за по-задълбочено запознаване както с теорията на множествата, така и с теорията на булевата алгебра.

2. КАКВО ТРЯБВА ДА СЕ ПРЕПОДАВА В КУРСА ПО ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ?
   

Тъй като възнамерявам да засегна само най-общите проблеми, свързани с преподаването на теория на вероятностите на всяко ниво, а съдържанието на курса е силно зависимо от вида на образователната институция, възрастта на студентите, нивото на математическа подготовка, и т.н., не ми остава нищо друго, освен да се огранича с няколко забележки.

Вярвам, че следните четири теми трябва да бъдат включени във всеки курс по теория на вероятностите:

А) Практическата „основа“ на теорията на вероятностите, тоест изложението на статистическите модели, срещащи се в ежедневието, в природата и в хазарта.

Б) Математическа теория на вероятностите.

Б) Прилагане на теорията на вероятностите в различни области за описване на случайни масови явления и в общи линии прогнозиране на особеностите на протичането на такива явления.

Г) История на теорията на вероятностите и разглеждане на философски проблеми, свързани с теоретико-вероятностни концепции.

Тези четири точки са подредени в реда, съответстващ на логическата последователност, в която (според мен) трябва да бъдат разгледани. За да избегна недоразумения, бих искал да подчертая, че макар да препоръчвам в началото на преподаването на теория на вероятностите да е концепцията за „статистическа закономерност“, това не означава, че трябва да се започне със статистика.

Напротив, никога не съм одобрявал (нито от логическа, нито от дидактическа гледна точка) експериментални курсове, в които статистиката предхожда теорията на вероятностите. Вярвам, че преподаването на теорията на вероятностите е най-добре да започне с обяснение на значението на понятието „статистическа закономерност“ с помощта на добре подбрани примери и експерименти. На първо място е необходимо да се гарантира, че учениците дълбоко са усвоили основните факти, необходими за овладяване на теорията на вероятностите, и едва след това да пристъпят към разглеждане на теорията на вероятностите в обем, съответстващ на възрастта на учениците и нивото на тяхното математическо обучение. Разбира се, не бива да се изпуска от поглед броят на часовете, посветени на теорията на вероятностите, и конкретните цели, които тази образователна институция си поставя. Смятам, че преподаването на математическа статистика като отделен предмет може да бъде само на университетско ниво, където статистиката трябва да бъде избираема дисциплина.

По отношение на приложенията на теорията на вероятностите, често чувам, че само изучаването на статистиката помага да се разбере практическото значение на теорията на вероятностите. Не мисля, че това е вярно: голяма част от най-важните приложения на теорията на вероятностите могат да бъдат разбрани напълно, независимо от статистиката въз основа на някакъв въвеждащ курс по теория на вероятностите. Разбира се, всеки кратък курс по теория на вероятностите трябва да съдържа обяснения, как да се оценят основните параметри в повечето случаи, които могат да възникнат в действителност, но ако извадката е достатъчно голяма, тогава не са необходими сложни статистически методи за това. По-специално, от уводния курс трябва ясно и категорично да следва, че изучаването на обратните задачи на теорията на вероятностите (както е обичайно да се наричат ​​​​задачи, при които въз основа на наблюдения се изисква да се оценят параметрите на желаното разпределение на вероятностите) представлява специална тема, свързана с компетентността на математическата статистика, и въпреки че основата на статистиката е теорията на вероятностите, въпреки това тя е самостоятелна математическа дисциплина, а не неразделна част от теорията на вероятностите.

Разбира се, методът на Бейс може да се разглежда в рамките на теорията на вероятностите и ако броят на часовете, посветени на изучаването на теорията на вероятностите позволява, тогава е напълно възможно той да бъде „вграден“ в курса на изучаване.

Що се отнася до точка (Г), струва ми се, че едно отклонение за навлизане в историческата тематика, било то кратко или обстойно, е полезно и желателно при представянето на който и да е предмет, а при изучаването на теория на вероятностите играе специална роля. Дори в кратък въвеждащ курс е много важно да се разгледат философските проблеми, свързани с вероятностни концепции, тъй като това помага на студентите да развият самостоятелно мислене. Естествено е да се докоснем до философските въпроси на теорията на вероятностите дори в кратко отклонение относно историята ѝ, същевременно, това няма да бъде голямо отклонение.

В заключение бих искал да подчертая, че считам такива понятия като ентропия и информация за част от основните понятия на теорията на вероятностите и силно препоръчвам преподавателите да отделят време в рамките на курса за теорията на вероятностите и да се спрат на тези понятия.

3. КАК ТРЯБВА ДА СЕ ПРЕПОДАВА ТЕОРИЯТА НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ?

При разглеждането на този курс от въпроси се сблъскваме с трудност, противоположна на тази, която срещаме при опитите да отговорим на двата предишни въпроса. Има толкова много да се каже по избраната от нас тема (и почти без ограничения), че е необходим поне някакъв подбор. Затова ще трябва да подмина  множество важни въпроси и ще изкажа някои съображения само във връзка със следните три проблема:

А) Въпроси на математическа строгост.

Б) Експерименти със случайни събития.

В) Въвеждане на понятието „вероятностно поле”.

А) Най-общо казано, аз принадлежа към привържениците на разумната строгост в преподаването на математика, защото вярвам, че без строгост математиката не е математика. Разбира се, това изобщо не означава, че всяко твърдение трябва да бъде строго доказано: част от теоремата може да бъде формулирана без доказателство, друга може да бъде обоснована с евристични разсъждения и само някои детайли да бъдат доказани с цялата строгост. Трябва обаче да се направи рязко разграничение между различните видове информация: учениците винаги трябва да знаят какво е доказано и какво е дадено без доказателство. Трябва много да се внимава да не се приемат евристични аргументи като доказателство. Трябва да се направи съвсем  ясно разграничение между дефинициите и теоремите. Всичко това важи в еднаква степен  за преподаването на всеки клон на математиката, но в преподаването на теория на вероятностите спазването на изброените „предпазни мерки“ доста често е от първостепенно значение и затова исках да им обърна специално внимание. Ако учителят иска да убеди учениците си в необходимостта от строгост, тогава той може да ги убеди в това, като внимателно подбира примери, при които небрежността в доказателството води до явно погрешни резултати. Добре подбраните примери са в основата на преподаването на цялата математика като цяло, но никъде няма толкова богат избор от вълнуващи и в същото време елементарни примери, както в теорията на вероятностите.

Б) Нагледна представа за статистически закономерности може да се извлече от книги, вестници и т.н., но учениците са много по-впечатлени от това, което могат да видят със собствените си очи или, още по-добре, от резултатите от собственоръчно направени опити. Някои преподаватели не са съгласни с това мнение, защото се опасяват, че експериментите не винаги водят до точно онези резултати, които могат да се очакват предварително, като при физическите опити. За щастие такива страхове не са оправдани и ако учителят познава добре теорията на вероятностите, тогава няма да има проблеми.

Учителят трябва бързо да реагира на случващото се, тъй като е несравнимо по-трудно да се оценяват експерименти, които самият учител вижда за първи път, отколкото да се анализират такива, чиито резултати той знае предварително. И все пак, достойнствата на опитите, провеждани в училище (или образователна институция от всякакъв тип), са толкова много, че въпреки обсъдените трудности съм склонен да ги защитавам по всякакъв възможен начин. Разбира се, постановката на експерименти трябва внимателно да се обмисли предварително. В моя телевизионен курс по теория на вероятностите реших да демонстрирам известния експеримент за хвърляне на игла на Буфон. За моя изненада открих, че въпреки че иглата на Буфон се споменава в почти всички учебници по теория на вероятностите, нито една от книгите не казва, как трябва да се проведе този експеримент и какви условия да бъдат изпълнени, за да се постигнат достатъчно добри резултати. .. В крайна сметка трябваше да измисля прост механизъм за хвърляне на иглата. Нещо подобно се случи, когато исках да демонстрирам на публиката още едно класическо преживяване с дъската на Галтън. И отново се оказа, че ако постановката на опита не е добре обмислена  предварително, то резултатът е много различен от очаквания, тъй като има зависимост между броя на топките, попаднали в различни отделения в долната част на дъската. За да получа желаното разпределение на топките, трябваше да конструирам специално устройство. Що се отнася до заровете, най-добрите зарове, които съм виждал, бяха с форма на икосаедър, с каквито се контролира качеството в Япония. Доколкото знам, там те се произвеждат в огромни количества. Не мисля, че би било изключително трудно да се организира производството на обикновени зарове за нуждите на преподаването на теория на вероятностите. Във връзка със заровете, искам да отбележа, че на въпросните зрители показвах експерименти не само с обикновени (шестоъгълни) зарове, но и със зарове, с които са играли древните гърци и римляни.

Има много други експерименти, които са не по-малко подходящи за демонстрация в хода на теорията на вероятностите: хвърляне на монета, теглене на карти от внимателно разбъркано тесте, игра на рулетка и др. Осъзнах, колко много интересни и поучителни примери от хазартните игри може да почерпи преподавател на теория на вероятностите, когато моят колега д-р Пал Ревес се оплака от неочаквана трудност, с която е трябвало да се сблъска по време на лекционния си курс по теория на вероятностите в Етиопия. Оказало се, че хазартът е напълно непознат в Етиопия и тъй като е строго забранен, не може да се споменава и в лекции. Изготвянето на „реквизит“ за опити изисква най-строг контрол на качеството. Например, за телевизионен курс по теория на вероятностите поръчах торба с пластмасови топки и пластмасова шпатула със 100 малки дупки, подредени в квадратна решетка 10×10. Трябваше шпатулата да се зарови в топките, те да се наелектризират и да прилепнат към нея, запълвайки дупките. Топките в торбата бяха два вида: бели и червени, а делът на червените топки беше по-малък от 1 (беше ¼). Резултатите от проведените тестове в този експеримент се описват доста добре с разпределението на Поасон. Трябва също да спомена, че анализът на данните, получени от експерименти, е нееднозначен и може да доведе не само до разбиране на същността на понятието „статистическа закономерност“, но и много по-далеч – до понятието „независимост“, както и до други понятия, чиято връзка със случайни явления не е толкова очевидна. Например, в моите лекции многократно демонстрирах на аудиторията две поредици от нули и единици и говорех, че една последователност се получава чрез хвърляне на монета (нула означава „ези“, едно е „тура“), а втората представлява сама по себе си нищо повече от умела имитация на случайна последователност. Всяка от тези последователности съдържаше около 150 нули и единици. На слушателите се оставяше да решат, коя от двете поредици е „истинска“ и коя „фалшива“. („Изкуствената“ последователност имаше много правилна структура, например не съдържаше дълги сегменти, състоящи се само от нули или само единици, докато в случайната последователност такива сегменти се срещаха.)

В) В заключение бих искал да говоря за това как наскоро въведох понятието „вероятностно поле“. На пръв поглед изглежда, че това е само нова терминология, но, както ще покажа, всъщност има нещо повече зад това понятие.

Обичайно е вероятностно поле* да се нарича тройката Ω, A, P, където Ω е непразно множество, A е σ-алгебрата на подмножествата на множеството Ω и P е мярка, дефинирана на A и отговаряща на условието P (A) = 1. Наричам множеството Ω експеримент, а елементите ω ∈ Ω са възможни резултати от експеримента. Всяко подмножество от σ-алгебра A ще нарека събитие, състоящо се от всички принадлежащи към него резултати от опит. Подмножествата, които са елементи от съвкупността A, ще се считат за наблюдаеми събития, а всички подмножества от множеството Ω, които не принадлежат на σ-алгебрата A – з а ненаблюдаеми събития. Както обикновено, ще нарека мярката P (X) на наблюдаемото събитие X – вероятност за събитие X. Трябва да се подчертае, че вероятността за ненаблюдаеми събития не е еднозначно определена.

Типичен пример е опитът с хвърляне на два еднакви зара. В този случай Ω се състои от 36 двойки числа ((a, b) ∈ Ω, ако 1 ≤ a ≤ 6 и 1 ≤ b ≤ 6), а съвкупността от подмножества A съдържа подмножества от множеството Ω, които имат следното свойство: ако (a, b) ∈ A, то тогава и (b, a) ∈ A. От 236 подмножества на множеството Ω, само 221 имат това свойство: те са наблюдаеми събития.

Както показва този пример, може да е непрактично да се включват в A всички подмножества на множеството Ω, дори ако Ω е крайно множество.

–- * Материалът на тази и следващата страница е предназначен предимно за специалисти по теория на вероятностите. Неспециалистите могат да намерят необходимите определения в книгата на А. Рени „Писма за вероятността“, включена в този сборник. – бел. ред. на унгарско издание.

Разбира се, ако вместо множеството Ω от подредени двойки числа (a, b) вземем множеството от неподредени двойки числа, тогава A ще се състои от всички подмножества на множеството. В общия случай е разумно да се избере сравнително голям набор от резултати от опита и да се ограничи наборът от наблюдаеми събития до съвкупността от тези подмножества, чиито вероятности са (еднозначно) определени.

Следвайки логиката на разсъжденията, стигаме до предположението, че колекцията от подмножества A трябва да бъде алгебра от множества. Наистина, ако някакво събитие е наблюдаемо, тогава и обратното събитие също е наблюдаемо. Освен това, ако две събития са наблюдаеми, тогава и събитие, състоящо се от резултати, принадлежащи на поне едно от тях, е наблюдаемо. (Това твърдение не е вярно в квантовата механика, но винаги е валидно в класическата механика.)

И така, опитах се да въведа понятието „вероятностно поле“ в образователни институции от различни (както университетски, така и по-ниски) нива и от собствения си опит се убедих, че студентите усвояват това понятие много по-лесно, ако акцентът е върху концепцията за наблюдаемост. Предимствата на този подход стават очевидни едва на по-късните етапи на курса: учещите усвояват по-лесно такива общи понятия като условна вероятност и условно математическо очакване, ако от самото начало преподавателят е в състояние да доведе до тяхното съзнание, че съвкупността от множества, на които е зададена мярката, незадължително е най-широката. Авторите на много учебници обосновават обстоятелството, че вероятностната мярка не е дефинирана за всички подмножества, а за някои подмножества на основното множество от σ-алгебрата, като се позовават на трудности от чисто математически характер, които често не позволяват прехвърляне на вероятността мярка към всички подмножества. Макар че тази забележка е, строго погледнато, правилна, все още я намирам за подвеждаща. Всъщност, като правило, би било напълно безсмислено да се разширява вероятностната мярка до всички подмножества на основното множество, доколкото „разширената“ мярка би била съвсем различна от първоначалната, дадена в съответствие с теорията на вероятностите.

Не бих искал да навлизам в подробности по този въпрос, тъй като той представлява интерес предимно за тези, които преподават теорията на вероятностите. Връщайки се към преподаването на тази теория на по-елементарно ниво, бих искал да повторя едно дълбоко убеждение, което направих въз основа на личен опит: учениците научават понятието „вероятност“ или, по-точно, разбират математическата структура на теорията на вероятността с по-голяма лекота, в случай че от самото начало им се обясни ролята на понятието „наблюдаемост на събитията“, на което се основава понятието „вероятност“.

Вземете (Доживотен) абонамент и Подарете един на училище по избор!