Проблемът за мярката. Всичко е относително, но не всичко е относимо

Автор: Д-р Лъчезар П. Томов

 

Алгоритъмът на Евклид и ирационалните количества

Естествените числа 1,2,3… възникват като абстракция на процеса на броене на реално съществуващи неща – винаги краен брой. Четири овце или четири къщи – те заедно споделят свойството четири. Ежедневните задачи обаче не се изчерпват с броене, в тях има измерване на площи и претегляне на стоки, а за нуждите на земеделието – и измерване на времето. Първата стъпка към измерването е да го сведем до преброяване – заради което въвеждаме и мерни единици– мерки. Наличието на множество мерки въвежда хаос в строителството и търговията – превръща различние измервания в изречения на различни езици, на които им липсва точен превод. Колко палеца е една длан, колко длани е една стъпка, колко стъпки е една крачка, колко крачки е един стадий? Проблемът за древните не е този, че палците, дланите, стъпките и крачките варират, този, който води до създаването на единици като метъра и килограма. Проблемът за тях е далеч по-сложенте искат да измерват, като броят. Най-просто е измерването на дължина по права линия – и всъщност само тя има строга дефиниция за дължина (какво означава дължина при крива линия е въпрос от висшата математика).Според аксиомите на Евклид между две точки може да има само една права линия, съответно разстоянието между тях е нейната дължина.

 

Алгоритъмът на Евклид

Когато търсим обща мярка между две отсечки, най-естественото е да ги сравним – или са равни, или не. Ако са равни, те са мярката. Ако не са, се питаме може ли по-малката да се вмести в по-голямата? Ако се вмества точно 1, 2,3 или повече пъти, тя е общата мярка. Какво да правим обаче, ако не се вмества точно – (Фиг.1-2). Ако си потърсим нова мярка отвън, било реална, или си начертаем нова, откъде знаем, че тя ще е точна? Можем ли да използваме това, което имаме? Остатъкът GB ни пречи (Фиг.2), ако можеше нещо да се вмества в ABбез остатък, тогава щяхме да намерим обща мярка. Имаме три отсечки – AB, CD и тяхната разликаGB = AB – CD.Ако не искаме външна мярка, имаме избор само между тези три отсечки, или техни части (но това епо-сложно, затова няма да ги делим). Първите две не можем да ползваме. Можем да ползваме само остатъка GB. Може ли той да се вмести цял брой пъти– един, два, три или повече в AB? Той вече се вмества веднъж, останалата част е CD – ако тя може да се замести с налагане на GB няколко пъти, то остатъкът ще се вмести цял брой пъти в AB. Той ще е мярка и на CD и на AB.Проверяваме дали това е възможно, като взимаме нова отсечкаEF = CD (Фиг.3).


РЕКЛАМА:

***

Фигура 1. Алгоритъм на Евклид,стъпка 0

Фигура 2. Алгоритъм на Евклид, стъпка 1

Фигура 3. Алгоритъм на Евклид, стъпка 2

 

За съжаление надеждите ни не се оправдават (Фиг.4). EF се нанася 2 пъти в CD и остава остатък ID.GB = EF не е нашата мярка.

 

Фигура 4. Алгоритъм на Евклид, стъпка 3

 

Да спрем ли дотук? Или да потърсим външна мярка? Да спрем означава да се признаем за безсилни, а външната мярка ще трябва всеки път да измисляме наново за всяка отделна дължина. Остатъкът ID в CD се вмества веднъж (Фиг.5). Ако той се вмества в ЕF цял брой пъти, ще получим ситуация сходна с тази с GB, CD и AB. Тогава ID ще измерва EF и оттам CD, но и остатъкаGB = EF (Фиг.6). Измерваме третата отсечка (разликата на първите две) и оттам измерваме втората И първата. Действаме рекурсивно – използваме новия остатък (разликатаID = CD = CI) като обща мярка на последните две отсечки и чрез него можем да измерим и всички предишни, като се връщаме стъпка по стъпка назад.

Целият материал е достъпен само с Абонамент за сп.“Българска наука“.

 

Виж повече за Абонамента тук.


Европейска нощ на учените 2022 г.: