Направи дарение на училище!

А.Н.Колмогоров

Превод: Александър Андронов

Научен редактор: Лъчезар П. Томов

Разбери повече за БГ Наука:

***

4.1. За многобройното и талантливо попълнение със съветски математици

Значението на математическите методи в науки като механика, физика или астрономия е добре известно. Също така всеки знае, че математиката е необходима в практическата работа на инженери и техници. Елементарни познания по геометрия или способността да се използват буквени формули са необходими за почти всеки домашен майстор или квалифициран работник. Но по-малко ясен за мнозина е въпросът, какво означава да си математик и да се занимаваш с математика като основна професия.

Много хора си представят, че учебниците и математическите справочници вече са събрали напълно достатъчно формули и правила и решаването на всякакви математически задачи, срещани в практиката. Дори много образовани хора често с недоумение питат: възможно ли е да се направи нещо ново в математиката.

Следователно, математикът понякога се представя като скучен човек, който е научил голям брой глупости и теореми и се смята, че неговата задача е да предаде научените готови знания на другите.

При всичко това е вярно само, че математическата информация, предавана в средното училище и в първите етапи на изучаване на математика във висшето образование, е била получена от човечеството отдавна. Но дори тази проста математическа информация може да се приложи умело и с полза, само ако те се усвоят творчески, така че ученикът сам да види как би могъл сам да стигне до тях. От учителя по математика, както във висшите, така и в средните училища, се изискват не само солидни познания за преподаваната от него наука. Само човек, който е запален по нея и я възприема като жива, развиваща се наука, може да преподава добре математика. Вероятно много ученици от гимназията знаят колко е забавна и благодарение на това математиката става лесна и достъпна за такива учители.

В още по-голяма степен независимостта и способността да се подходи по нов начин към математическата формулировка на даден проблем са необходими за тези, които прилагат математиката при решаването на технически задачи. Това се отнася за работата на всеки инженер. Но тъй като не всеки има необходимите математически знания и способности, повечето от нашите изследователски институти и дори някои големи заводи започнаха активно да привличат математици, които да работят съвместно с инженери по технически проблеми.

Математиците, които могат да водят големи изчислителни задачи, са особено оскъдни. В момента има много задачи, които изискват изчисления, които превъзхождат възможностите само на един човек. Типични примери за такива проблеми са изчисляването на еластичните напрежения в язовирите, филтрирането на водата в язовирите, съпротивленията, които изпитват самолетите в полет, или траекторията на изстрелваните снаряди.

Вече много отдавна към научни институти, проектантски организации и заводи, нуждаещи се от решаване на подобни проблеми, започнаха да се появяват изчислителни бюра [*) с много десетки компютри, оборудвани с аритмометри и изчислителни машини, които за извършване на аритметични операции изискват само въвеждане с клавиши на многоцифрени числа и натискане върху съответния клавиш (+, -, x, :). Съвременната наука и техника обаче са изправени пред такива проблеми, че на това ниво на организация на компютърната работа са необходими много месеци, а понякога и години на работа на десетки изчислителни машини. Тази ситуация е причинила бързото развитие на съвременната „машинна математика“, за което разказваме по-надолу.

Проектирането и поддръжката на съвременните изчислителни машини (компютри) се превърнаха в големи инженерни специалности, за които се обучават специалисти в съответните катедри на техническите университети. За работата на специалист в изчислително бюро (офис) от стар тип или за въвеждане на проблем в модерна  електронна изчислителна машина (компютър) са достатъчни средно образователно и полувисше специално образование. За да се стигне до решение на математически задачи при прехвърлянето на числени резултати в изчислително бюро или изчислителна машина (компютър), са необходими голям брой хора с дълбоки математически познания.

Теорията за „изчислителните методи“ на математиката сега се превърна в голяма наука и необходимостта от специалисти, които познават тези методи, нараства с развитието на „машинната математика“. Изправени сме пред своеобразния проблем на „програмирането“, тоест привеждането на процеса на изчисления във форма, която позволява пълна автоматизация на машините при решаването на задачи от определен тип.

*) Става дума за края на 50-те и началото на 60-те години (на 20-и век) – бележка на съставителя – стр.25

Идеята за математиката като цялостна наука, веднъж завинаги изградена сама по себе си на теоретически основи, е погрешна. Всъщност математиката се обогатява с напълно нови теории и се пренастройва в отговор на новите изисквания на механиката (нелинейни трептения, механика на свръхзвуковите скорости), физиката (математически методи на квантовата физика) и други свързани науки. Освен това, в дълбините на самата математика, след натрупването на голям брой разпръснати специални задачи, решавани с определени частни методи, се създават нови общи теории, които осветяват тези проблеми от различни гледни точки и позволяват да бъдат решени с помощта на единни общи методи. Например, методите, които се появяват пред очите ни „функционалния  анализ“, се отнасят до математическия анализ (който е създаден още през 17-18 век. И се преподава във всички висши технически институти) приблизително по същия начин, както алгебрата се отнася до аритметиката. Така наречените „операторни методи“ на функционалния анализ вече са намерили широко приложение в съвременната физика и техниката.

Сега Съветският съюз се нуждае от голям брой независими изследователи по теоретични въпроси на математиката. При сравняване на публикации за успехите на съветската математика през 1917-1947г. се оказва, че през първите петнадесет години е имало около двеста математици, които са допринесли с нещо съществено ново за математическата наука, но през вторите петнадесет години те са вече 600-800.

Броят на математиците с университетска подготовка, необходими за работа по проблеми, възникващи в естествените науки и техниката, е много по-голям, особено ако вземем предвид факта, че в допълнение към теоретичното развитие на въпроса, тук като правило е необходимо да се извършват и големи разчетни дейности. Ежегодно търсенето на млади математици, завършили университети, за работа в научни и научно-технически институти и изчислителни центрове непрекъснато нараства.

Ако вземем предвид и нуждата на страната ни от учители по математика в педагогически и учебни институти, ще стане ясно защо съветската държава има необходимост от толкова много математици с най-висока квалификация, обучени в механо-математически и физико-математически отдели на университетите.

През последните години у нас бяха предприети важни мерки, насочени към повишаване на квалификацията на учителите по математика във висшите учебни заведения, към привличане на голям брой млади хора със склонност към математика в университетите.

Интересно е в тази връзка да си припомним, че в първите години след Великата октомврийска социалистическа революция младите хора се стремяха почти изключително към висши технически институти. Тогава на много млади хора изглеждаше, че само по този начин те ще вземат пряко участие в социалистическото строителство. През първите революционни години подобни настроения имаха някаква разумна основа. Но, когато развитието на науката се превърна в най-неотложната икономическа необходимост у нас, бяха необходими усилия за преодоляване на недоверието у някои млади хора относно перспективите, които ги очакват при постъпването в университети. Тези настроения вече ги няма. Но все още трябва да се борим с тях, когато се приложат към математиката, която сравнена отстрани с другите науки, изглежда твърде суха и абстрактна.

От 1952 г. приемът в математическите специалности на университетите на СССР е значително увеличен в сравнение с предходните години. Много е важно в този разширен прием на математически специалности да попаднат не само добре подготвените млади хора, но и младежи, които обичат математиката. За това е необходимо навсякъде по места да се създава възможност за тези любители на математиката да определят своите наклонности и да оценяват силните си страни и възможности.

За да направят съзнателен избор, е полезно да участват в работата на математически кръжоци и в местната математическа олимпиада. Може да е още по-полезно да прочетат съответната литература и да опитат силите си за решаване на по-трудни задачи.

4.2. Няколко бележки за естеството на работата на математика- изследовател 

Както всяка наука, така и математиката изисква на първо място твърдо знание за това, което вече е направено по разглеждания въпрос. Но не бива да се мисли, че в математиката е по-трудно, отколкото при другите науки, да се стигне до възможността да се направи нещо ново. Опитът по-скоро казва друго: способните математици по правило започват независими научни изследвания съвсем еднакво. Ако математическите открития, направени на възраст 16 или 17 години, въпреки това са изключения, събирани с особено внимание в популярни книги по история на математиката, то началото на сериозната научна работа на възраст 19-20 години в средните курсове на университетите е съвсем типично за биографиите на много от нашите учени. (Академик С. Л. Соболев през 1933 г. и на 25-годишна възраст вече е приет за  член-кореспондент на Академията на науките на СССР. През 1953 г. член-кореспондент на Академията на науките на СССР става 25-годишният математик,  комсомолецът С.Н.Мергелип.)

Разбира се, широтата в знанията при  поставяне на задачи обикновено идва малко по-късно, но когато решават ясно поставени трудни конкретни проблеми, много млади хора често успешно се съревновават с утвърдени известни учени. Ежегодно в сериозни издания като Докладите на Академията на науките на СССР се публикуват десетки  научни трудове, чиито автори са студенти по математически специалности на Московския университет.

Повечето от математическите открития се основават на някаква проста идея: визуална геометрична конструкция, ново елементарно неравенство и др. Необходимо е само тази проста идея да се приложи по подходящ начин към решението на проблем, който на пръв поглед изглежда нерешим. Много примери за това могат да бъдат намерени в популярната литература. Следователно няма непробиваема стена между най-новите и най-трудните оригинални математически изследвания и решаването на проблеми, достъпни за способния и доста упорит начинаещ математик. От тази гледна точка е интересно да се прочетат някои глави от „Математическа автобиография“ на известния съветски алгебрист Н. Г. Чеботарев (публикувано в списание „Успехи математических наук“ (1948, том III, брой 3)), където авторът излага историята на своите научни търсения , от първите експерименти като ученик от гимназията до най-големите открития в алгебрата.

Другата забележка е свързана с работата на математиците по природни науки (механика, физика и технологии). Сега, когато сътрудничеството между математици и представители на сродни специалности се развива особено широко, определено можем да кажем, че се оказва най-успешно, ако математикът не се ограничи до ролята на изпълнител на направената „поръчка“, а се опитва да проникне в същността на природните науки и техническите проблеми. По същество тук говорим за факта, че специалистите по математическа и теоретична физика, теоретична механика или теоретична геофизика могат да бъдат обучавани по два начина: да започнат образованието си с изучаване на физика, механика или геофизика, или първо да изучават  математика в математическите катедри в университетите и след това да навлязат задълбочено в една или друга област на приложение на математиката.

Съществува дори такава гледна точка, че вторият начин дава по-добри резултати, тоест, по-лесно е да се изучават аеромеханика, газова динамика, сеизмология или динамична метеорология на солидна математическа основа, отколкото специалист във всяка от тези области да попълни и компенсира липсата на математическа подготовка. Това мнение може да се счита за прекалено крайно и трябва да се отбележи, например, че доброто владеене на експериментална техника се среща сред математиците, които са преминали към работа в някоя свързана област, само като рядко изключение. Но трябва да се признае, че редица от нашите най-големи специалисти в сродни науки са математици по образование.

Трудно е да се отдели математиката от механиката и сеизмологията в трудовете на академици М. А. Лаврентиев и С. Л. Соболев. На първо място като специалисти по механика са известни  академиците М. В. Келип, Л. И. Седов и член-кореспондентът на Академията на науките на СССР Л. Н. Сретенски, като геофизици: А. Н. Тихонов и А. М. Обухов, член-кореспонденти на Академията на науките на СССР; като специалист по теоретична физика – акад. Н. Н. Боголюбов. Междувременно всички те са завършили и математика в  университети.

Може да се посочат много специфични постижения в естествената наука и техника, свързани с имената на математици, които се оказаха много значими от гл.т. на практическо приложение.

4.3. Относно математическите способности

Необходимостта от специални способности за учене и разбиране на математиката често е преувеличена. Впечатлението за изключителната трудност на математиката понякога се създава от лошото ѝ, твърде формално изложение в урока. При преподаване с добри насоки или добри книги, обикновените средни човешки способности са напълно достатъчни, за да се овладее не само математиката в гимназията, но и да се разберат например принципите на диференциалното и интегрално смятане.

Още повече, когато се отнася до избора на математика като основна специалност, съвсем естествено е да искаме да тестваме математически способности или, както понякога казват, математическа „надареност“. В крайна сметка няма съмнение, че различните хора възприемат математическите разсъждения, решават математически задачи или на по-високо ниво достигат до нови математически открития с различна скорост, лекота и успех. И, разбира се, трябва да се стремим от милионната ни младеж именно тези, които ще работят най-успешно в тази област, да стават специалисти по математика.

Следователно изнамирането на математически надарени младежи е една от важните задачи на училищните математически кръжоци, математически олимпиади и други събития за популяризиране на математическите знания и пропагандиране на интерес към самостоятелно занимание с математика. Не бива да се бърза да се създава репутация на математически „талант“ за някои млади хора твърде рано. Но е необходимо талантливи математици незабавно да се подтикнат със съвети или награди от олимпиадата в посока да изберат математиката като своя бъдеща работа.

Какви са тези способности? На първо място, трябва да се подчертае, че успехът в математиката най-малко се основава на механично запаметяване на голям брой факти, отделни формули и пр. Добрата памет в математиката, както и във всеки друг въпрос, е полезна, но повечето видни учени нямат специална изключителна памет. 

По-специално, фокусниците, които запомнят дълги поредици от многоцифрени числа и ги добавят или умножават в съзнанието си, изобщо не могат да служат като примери за хора с добри математически способности в сериозния смисъл на думата.

Способността да се извършват алгебрични изчисления, в смисъла на умело трансформиране на сложни буквени изрази, намиране на успешни начини за решаване на уравнения, които не отговарят на стандартните правила и т.н., вече е по-близо до т.нар. способности, които често се изискват от математиците в сериозната научна работа.

Дори е общоприето схващането, че изключително голямото развитие на такива изчислителни или  „алгоритмични“ способности е характерно за един от няколкото основни типа математическа надареност.

В училищната алгебра учениците най-напред се сблъскват с трудности, които изискват такива способности, при разлагането на алгебрични уравнения. Сред задачите по тази тема привеждаме два примера: разложете на множители изразите X5 + X + 1 и a10 + a5 +1; тези задачи дават представа за това, че понякога разлагането на прости изрази изисква голяма острота на ума.

Освен това основната област на приложение на този вид способности е при решаването на уравнения. Въпреки това, където е възможно, математиците се стремят да онагледят геометрично  задачите, които изучават. В гимназията е доста ясно, колко са полезни графиките при изучаване на свойствата на функциите. Следователно читателят няма да бъде изненадан от твърдението, че геометричното въображение или, както се казва, „геометричната интуиция“, играе голяма роля в почти всички клонове на математиката, дори и най-абстрактните.

В училище обикновено е трудно да се визуализират пространствени фигури. Трябва например да сте много добър математик (в сравнение с обичайното училищно ниво), така че, след като сте затворили очи, без рисунка, да можете ясно да си представите какъв вид има  пресечната точка на повърхността на куб с равнина, минаваща през центъра на куба и перпендикулярна на един от неговите диагонали.

В задачата: Два правилни тетраедра са вградени в куб, така че четирите върха на куба са върховете на единия от тях, а останалите четири върха на куба са върховете на другия. Каква част от куба е обемът на общата част от тези тетраедри? Цялата трудност се крие нагледно да се разбере, какъв вид фигура се получава, когато тетраедрите се пресичат.

При решаване на следните задачи:

Около сфера е описан пространствен четириъгълник. Докажете, че допирните точки лежат в една и съща равнина,

Докажете, че сумата от разстоянията от произволна вътрешна точка на правилен тетраедър до неговите лица е постоянна стойност,

Докажете, че правите, свързващи средната точка на височината на правилен тетраедър с върховете на основата, са взаимно перпендикулярни

става особено съществена геометричната интуиция, макар че тук делът на солидното познание на теоремите, които ще трябва да бъдат приложени в доказателството, е по-голям от дела на способността да се разсъждава логично.

Изкуството на последователните, правилно разделени логически разсъждения също е съществен аспект на математическите способности.

В училище за развитието му служи  систематичен курс по геометрия с неговите дефиниции, теореми и доказателства. Но често най-голямата трудност за учениците при разбирането на точния смисъл на сложната логическа структура е принципът на математическата индукция, който се изучава в края на курса по алгебра. Мнозина не могат ясно да видят истинското съдържание на този принцип зад бъркотията думи „ако“ и „то тогава“.

Разбирането и способността за правилно прилагане на принципа на математическата индукция е добър критерий за логическа зрялост, което е абсолютно необходимо за математиката.

Способността да разсъждавате последователно, логично в непозната среда се придобива с трудност. На математическите училищни олимпиади най-неочакваните трудности възникват именно при решаване на задачи, при които не се приемат предварителни знания от училищния курс, но се изисква правилно да се схване смисъла на въпроса и причинната последователност. Дори такъв шеговит въпрос затруднява много десетокласници: В иглолистната гора има 800 000 ели и на нито една от тях няма повече от 500 000 игли; докажете, че поне две ели имат абсолютно еднакъв брой игли (сравнете със задачата: 500 щайги съдържат ябълки, а всяка щайга съдържа не повече от 240 ябълки; докажете, че поне 3 кутии съдържат еднакъв брой ябълки). В следващите задачи също така, основната трудност се крие не в сложността, а в необичайността на методите за разсъждение, които трябва да бъдат приложени:

Какъв е най-големият брой остри ъгли, който може да има изпъкнал многоъгълник с n страни? и

Докажете, че изпъкналият 13-ъгълник не може да бъде разрязан на паралелограми, както и в задачата

Колко пъти на денонощие стрелките на часовника са перпендикулярни една на друга?

Различните аспекти на математическите способности се срещат в различни комбинации. Дори изключителното развитие на един от тях понякога позволява на човек да стигне до неочаквани и забележителни открития, въпреки че прекомерната едностранчивост, разбира се, е опасна. От само себе си се разбира, че никоя способност няма да помогне без ентусиазъм за тяхната работа, без систематична ежедневна работа.

Математическите умения обикновено се проявяват доста рано и изискват непрекъсната практика. Пълното прекъсване на математиката в продължение на няколко години след гимназията често е трудно поправима. Работа на чертожник, лаборант, обработката на машиностроителни части, монтажът на радиооборудване и др. очевидно съдържат много елементи, подобни на работата на математика, например, в смисъла на развитие на пространственото въображение и функционалното мислене. Работата със свързани технологии по време на работа може да предизвика по-съзнателен интерес към приложенията на математиката. Но ние силно препоръчваме на младите хора, които възнамеряват да учат в математическия факултет на университета, след като са работили след училище в продължение на няколко години в производството, предварително да учат математика и то не само като се подготвят за приемни изпити (за които има специални подготвителни курсове във всички университети), но и като участват в математически кръжоци и олимпиади и се занимават самостоятелно с четене. В противен случай никакви предимства за „производствените работници“ при постъпване в университетите няма да им помогнат да се справят с университетската работа, в сравнение с другарите им, дошли със свежи знания и опит направо от училище.

4.4. Математически кръжоци, олимпиади, самостоятелно четене.

Подготовка за кандидатстудентски изпити

Преподаването в училище по време на задължителните занимания в клас е предназначено главно да гарантира, че всички ученици усвояват математиката. Да опитате силите си в решаването на по-трудни задачи, да научите повече за това как науката се справя с решаването на по-сложни математически задачи и как математиката се използва в естествените науки и технологиите, можете в математическия кръжок. Такива кръжоци се ръководят от учители по математика в много училища. Университетите и педагогическите институти в много градове организират междуучилищни математически кръжоци и систематични лекции за ученици по конкретни въпроси на математиката или нейната история.

Естествено, всички тези начинания, както и математическите олимпиади, са широко отворени за млади работещи хора, интересуващи се от математика.

Математическите олимпиади, в които се предлагат трудни задачи и се дават награди и похвали на „победителите“, са успешни, когато работата в кръжоците е добре организирана. Олимпиадата трябва да се проведе, за да завърши текущата работа през цялата година, а не като изолиран празник.

Задачите, предлагани в кръжоците и на олимпиадите, понякога имат изкуствен и дори комичен характер. Това не е беда, ако задачите са подбрани по такъв начин, че тяхното решение изисква сериозна мисловна работа, подобна на тази, която се изисква от възрастен, самостоятелно работещ математик.

В докладите, прочетени в кръжоците от техните участници, в лекциите, изнесени от учители и преподаватели от висшето образование, са широко обхванати основните начини за развитие на математическата наука, значението на математиката за естествените науки и технологиите. Разбира се, много е добре, ако в задачите в кръжоците се вмъкне материал, който е фундаментално важен или убедителен в своята полезност, но би било напразно да се изискват такива условия за цялата онази мащабна „тренировъчна“ работа на млад математик, която се постига чрез решаване на задачи.

Независимо от участието в кръжоци, може да се включи самостоятелно решаване на по-трудни задачи. Има много интересни сборници от задачи за любителите на математиката. Някои от тях са написани по такъв начин, че читателят, решавайки последователно свързани помежду си задачи, може живо да си представи начините за развитие на доста сложни математически теории. Има и много лесно достъпни книги по конкретни теми по математика. Някои от книгите, заобикаляйки, доколкото е възможно, техническите трудности, въвеждат читателя в кръга от въпроси, които в момента са обект на незавършено научно изследване.

Ученето в кръжоци, слушането на лекции и четенето на допълнителна литература не трябва, разбира се, да отвлича вниманието на учениците в училищата или подготвителните курсове от по-елементарната и задължителна образователна работа. Трябва да се помни, че за да бъдете приети в университета, на първо място, са нужни солидни познания от училищния курс и способност, въз основа на тези знания, да се решават ясно и уверено по-обикновени, така да се каже, стандартни задачи.

Ако сравним задачите, предлагани на изпитите за прием в Механико-математическия факултет на Московския държавен университет, с тези, предлагани на олимпиадите, можем да видим значителната им разлика. Не се изисква специална изобретателност за решаване на изпитни задачи. В повечето случаи те се решават с последователното прилагане на правилата и техниките, изучавани в училище. Ако обаче тяхното решение изисква известно самостоятелно мислене, тогава идва  необходимостта от систематично изследване на поставения въпрос и на самото естествено направление. Например при решаването на следната задача:

Поместете във вътрешността на правилен шестоъгълник 1 квадрат с възможно най-голяма страна. Намерете страната на този квадрат

трябва ясно да си представим как трябва да се разположи търсеният квадрат в шестоъгълника, така че той да не може да бъде увеличен, без да излезе извън шестоъгълника. Ясно е, че за това той трябва да се допира до периметъра на шестоъгълника с поне два върха. Такива квадрати (в които поне два върха лежат по периметъра на шестоъгълника) трябва да бъдат разгледани по-подробно. За съжаление някои кандидат-студенти не можаха да преодолеят този първи етап и дори предложиха чертежи като решение на проблема, при които квадратът висеше свободно в шестоъгълника, без да докосва периметъра му.

Понякога проверяващите, за да проверят знанията за редица формули, правила и теореми от училищния курс, за решаване на задача, предлагат на кандидат-студентите задачи със сложно формулирани условия, придавайки им много изкуствен и объркващ вид. Независимо от въпроса за правилността на подобна тенденция, човек не трябва да се страхува прекомерно от подобни задачи. По тяхната същност те обикновено са дори много по-елементарни от задачите с по-кратки и по-отчетливи формулировки. Цялото нещо в решаването на такива комбинирани задачи със сложни и объркващо формулирани условия обикновено се свежда до правилното  прочитане на условието и способността да не се объркаш в дългата поредица от изчисления и аргументи, на които всяка отделна връзка е съвсем елементарна, въпреки че изисква използването на редица формули и теореми от учебния курс.

Много е важно правилно да разпределите силите си между твърдото овладяване на училищния курс, сериозното обмисляне на най-съществените и идеологически трудни ключови въпроси от този курс, тренирането за решаване на задачи от състезателен характер и (ако има свободно време за това) развитието на по-независимите ви интереси чрез допълнително четене, участие в кръжоци и олимпиади.

В заключение бих искал да отбележа, че според наблюденията на много преподаватели от Московския университет, сборници от конкурсни задачи и материали от училищни кръжоци и олимпиади са вдъхнали на част от младежите ни прекомерен страх от постъпване в университет (и по-специално в Московския университет). За всеки кандидат-студент е естествено да иска да постигне уверено решаване на всяка задача от състезателен тип, но не бива да се мисли, че университетите приемат само онези, които са решили всички задачи, предложени на изпитите. Понякога оценки 5, 4, 3 съответстват на четири, три и две решени задачи. Тези, които са решили по-малко от две задачи, като правило получават оценка „2“ и не се допускат до допълнителни изпити.

При устните изпити задачата на изпитващ в съветски университет, противно на широко разпространеното мнение сред учениците, не е бързото „отрязване“ на нещастния кандидат, а внимателното претегляне, като се вземат предвид всички обстоятелства от ситуацията с изпитите, перспективите за по-нататъшната му работа по избраната от него специалност. Приемът за първата година на нашите университети е толкова висок, че дори приемните и изпитните комисии на Московския университет са най-загрижени да не загубят нито един кандидат, който е достатъчно подготвен и способен да работи сериозно в този факултет. Междувременно често се случва, че по-свитите млади хора, обучени не по-зле от другите, предпочитат да кандидатстват не там, където искат да отидат, а там, където според тяхната информация има по-малка конкуренция.

4.5. Елементарна и висша математика

Преломният момент в математиката беше декартовата променлива. Благодарение на това движението и диалектиката навлизат в математиката и благодарение на това диференциалното и интегрално смятане става незабавно необходимо.

Само диференциалното смятане дава на естествената наука способността да изобразява математически не само състояния, но и процеси: движение.

Ф. Енгелс. Диалектика на природата

Обратът в математиката, отбелязан в тези думи на Енгелс, се е случил през 17 в. едновременно със създаването на основите на математическата естествена наука. Значението на този обрат е толкова голямо, че досега клоновете на математиката, образувани в резултат на този обрат, са били обединени под името „висша математика“, за разлика от „елементарната математика“, развита по-рано.

Някои основни понятия за висша математика вече са включени (*) в учебните програми на гимназията, където функционалните зависимости между променливите се изучават задълбочено и се отчита известна информация от теорията за границите. Въпреки това диференциалното и интегрално смятане, на което се базират повечето от най-сериозните и важни приложения на математиката към науката и технологиите, остават извън обхвата на учебната програма за средното училище.

Началата на диференциалното и интегрално смятане рядко се избират за предмет на изучаване в училищните математически кръжоци, тъй като те обикновено се стремят да предложат такъв материал, който след относително кратки уводни обяснения позволява незабавно вземане на независимото решение на задачите; изучаването на принципите на диференциалното и интегрално смятане изисква доста продължителна систематична работа.

(*) Говорим за края на 50-те – началото на 60-те. – Забележка на съставителя

От друга страна, силата и общността на метода на диференциалното и интегрално смятане са такива, че без да се запознае с тях, човек не може правилно да разбере пълното значение на математиката за естествената наука,  за техниката и дори напълно да оцени цялата красота и очарование на самата математическа наука. Например, в рамките на елементарната математика, намирането и доказването на формули за обеми на всякакви сложни фигури или области на повърхности е изключително трудно. Обемът на пирамидата, както знаете, дава много мъки на учениците. Извеждането на формулите за обема на конус V = 1/3 ∏R2H, обема на сфера V = 4/3 ∏R3 или повърхността на сфера S = 4∏R2 е не по-малко сложно. Особено неприятно е, че извеждането на всяка от тези формули изисква собствени фигуративни техники и не дава представа за това как да се справим със задачите за намиране на области или обеми, които не са анализирани в учебник по геометрия. Но си струва да се запознаем с началата на интегралното смятане и се оказва, че например обемите на всички тела се намират чрез интеграция по единен, прост и напълно естествен начин. При владеене на интегрално смятане по принцип всякакви други задачи за определяне на площи или обеми не представляват никакви трудности: всички те се извършват именно чрез задачи, които могат да бъдат решени по определен метод, докато в рамките на елементарната математика всяка от горните формули е теорема със собствен метод за доказване.

Елементарните техники за решаване на проблеми за намиране на „максимум“ или „минимум“ са сложна и много гениална наука. Цялата тази бъркотия от странни и фини устройства се оказва в повечето случаи напълно излишна, когато се използва диференциално смятане. Още по-лесно е да разберете този вид приложения на висшата математика, тъй като тук трябва само да се запознаете с концепцията за производна, представена в самото начало на диференциалното смятане, да научите как да изчислявате производни на най-простите функции и да се запознаете с правилата за прилагане на производни за намиране на максимуми и минимуми.

Понятието производна f‘(х) = dy/dх от  функцията y = f(х)  по нагледното си съдържание е съвсем просто. Ако разгледаме независимата променлива x като време, тогава производната f‘ ще бъде просто скоростта на промяна на зависимата променлива y. Това обяснява основната роля на концепцията за производно при изучаването на процесите на промяна на количествата във времето.

Ако се обърнем към механиката, тогава вече толкова прост проблем като извеждането на закона за падащите тела, открит от Галилей, намира напълно задоволително решение само когато се използват средствата на висшата математика. Деривацията на добре познатата формула s = ½ gt2 за пътя, изминат от тялото във време t по време на свободно падане в празно пространство (g е ускорението на гравитацията), което е дадено в елементарните учебници по физика, страда от известна сложност и изкуственост. Но е достатъчно да научите, че скоростта е производно на изминатото разстояние във времето: v = ds / dt, а ускорението е производно по време на скоростта: g = dv / dt, и да се запознаете с най-простите правила за интегриране и всичко ще бъде сведено до много просто изчисление :

0tgdt=gt, s=0tvdt=0tgtdt=gt22

В повечето случаи по-сложни задачи в областта на механиката и физиката основните закони на изследваните явления също могат да бъдат много просто изразени с помощта на уравнения, свързващи изследваните величини и техните производни по време. Уравненията, свързващи търсените функции с техните производни, се наричат ​​диференциални уравнения.

С помощта на диференциални уравнения се записват много просто законите на движение на небесните тела под влиянието на всеобщата гравитация, законите на действие на голямо разнообразие от радиотехнически схеми, законите на разпределението на напрежението в различни механични конструкции и др. Разработването на методи за решаване на такива уравнения е една от основните задачи, които техниката поставя на математиката.

Доста е трудно да се изучи задълбочено диференциално и интегрално смятане преди гимназията. Още по-трудно е да се постигне значителен напредък в теорията за решаване на диференциални уравнения. Въпреки това, тези, които могат да бъдат увлечени от математиката и се интересуват от тази конкретна страна, все още могат да се опитат да се запознаят с най-простите понятия за диференциално и интегрално смятане паралелно със завършването на гимназия (*).

Във всеки случай това е бил пътят към математиката на много от нашите учени и за някои от тях именно запознанството с висшата математика беше решаващ аргумент, за да се спрат най-накрая на математиката като своя специалност. За тази цел може да се прочете прекрасната книга на Р. Курант и Г. Робинс „Какво е математика. Елементарен очерк на идеи и методи“ (Москва; Гостехиздат, 1947 г.) или някой от относително достъпните учебници за университетите.

За тези, които не смеят да се заемат с такава работа, дадените тук кратки бележки ще помогнат да разберат колко по-широки и интересни перспективи ще им се отворят при по-нататъшното изучаване на математиката, отколкото може да си представим предварително.

4.6. Съвременна машинна математика (**) и кибернетика

Съвременната математическа теория предоставя по принцип средства, достатъчни за решаване на голямо разнообразие от задачи. Още през първата година в университета студентите се запознават с методите за намиране на корените на алгебрични уравнения от всякаква висока степен с дадена точност. При изучаването на теорията на диференциалните уравнения се оказва, че съществуват общи методи за намиране на техните решения, макар и приблизителни, но притежаващи всякаква предварително определена точност.

При практическото решаване на такива проблеми, за да се получи определен числен резултат, се установява, че не е достатъчно да има основна схема на решение. Например, когато се изчислява траекторията на артилерийския снаряд, тази траектория се разделя на много десетки къси сегменти, които се изчисляват последователно. За да изчислите всеки следващ, трябва да направите няколко десетки аритметични операции. Изчисляването на една траектория дори за калкулатор с помощта на помощни таблици и добавяща машина отнема много часове и дори няколко дни.

(*) Припомняме още веднъж, че текстът е написан от А. Н. Колмогоров през 1959 г. Настоящата училищна програма съдържа елементи от висшата математика. Забележка на съставителя.

 (**) Това се отнася до машинната математика от 50-те години. – Забележка на съставителя

Изчисленията на корабостроенето или изчисленията, свързани с изграждането на големи язовирни централи, отнемат месеци или дори години на специални изчислителни бюра. Тази ситуация естествено доведе до необходимостта от подобряване на машинните изчислителни технологии. На първо място, наред с конвенционалните машини за добавяне, широко разпространени са „малките изчислителни машини“, които автоматично извършват четири аритметични операции върху многоцифрени числа. Умножаването на две осемцифрени числа отнема 40 секунди на такава машина.

Когато се използват тези машини, специалистът все още е принуден да записва резултатите от всяко действие, след което ги въвежда отново в машината. През последните 20 години беше широко развита работата за създаване на „големи“ изчислителни машини (компютри), които без човешка намеса извършват дълги поредици аритметични операции.

Програмата за работа на такава машина се задава чрез пробиване на дупки върху хартиената лента. Самата машина извършва аритметични операции в определения ред, фиксира междинни резултати, използва ги при по-нататъшни изчисления и накрая дава крайния резултат, върху пробита лента или карта или дори отпечатан.

Отначало в такива сложни изчислителни машини се използваха механични елементи като колела на конвенционална машина за добавяне и електромагнитни релета за затваряне и отваряне на тока, който задвижва елементите на машината. Пълна революция в изчисленията се случи преди около десет години (*), когато беше показано, че е възможно механично движещите се машинни елементи да се заменят с електронни лампи (диодни, триоди и др.) И техните комбинации (тригери и др.). П.). Благодарение на това стана възможно да се произвеждат многоцифрени числа за една секунда, например с няколко хиляди. Малко по-късно лампите  започнаха да се заменят с полупроводникови елементи с много по-малки размери; бяха въведени магнитни барабани, за да „запомнят“ голям брой междинни данни (до няколкостотин хиляди) и т.н.

(*) Става дума за края на 40-те години – Забележка на съставителя

Стана възможно да се направят изчисления, които изискват например 20 милиона операции за прогнозата на времето за следващия ден от данните на метеорологичните станции, изчисляване на траекторията на движение на снаряд за време, по-кратко от времето на полета му и т.н.

Понякога големите изчислителни машини (компютри) са специално изградени с някаква цел (например за прогноза на времето), но по-често те имат универсален характер, тоест те са предназначени да решават голямо разнообразие от задачи. В този случай те се намират в „изчислителни центрове“, обслужващи различни научни и технически институти, които нямат собствени такива. Изчислителните машини често са свързани към устройства, които автоматично контролират един или друг процес. Ако управлението на бързо протичащ процес изисква сложни изчисления въз основа на данните, получени по време на този процес, тогава без високоскоростни изчислителни машини (компютри) такава задача изобщо не би била възможна. Областта на приложение на такива контролни машини бързо нараства.

Контролните машини в много отношения са подобни на контролните механизми, възникнали естествено в хода на еволюцията на живите същества (нервната система, механизмът за запазване и наследяване на характеристиките на всеки вид животни и растения). Общите закони на структурата на системите за управление се изучават от наскоро възникналите науки: теория на информацията и кибернетиката, които са до голяма степен математически и представят много нови заявки към чистата математика.

5. Геометрия на сферата и геологията

Вероятно много читатели са чували за теорията на Вегенер, според която континентите могат да се движат по земната повърхност, запазвайки формата си. Един от аргументите в полза на теорията на Вегенер от самото ѝ  създаване (1912 г.) е сходството на очертанията на източния и западния бряг на Атлантическия океан. Особено поразително е, че Южна Америка може да се премести  толкова близо до бреговете на Африка, че източният край на Южна Америка (нос Сан Роке) ще навлезе в Гвинейския залив и контурите на голяма част от крайбрежието почти ще съвпаднат.

Още самият Bereнер забелязва, че при подобни сравнения е по-логично да се работи не с бреговата линия, а с така наречения континентален склон. Факт е, че континентите са заобиколени от заемащата доста голяма площ т.нар. „континентална плитчина“, с дълбочини до 200 метра. По същество това е част от континента, наводнена от морето. Ако читателите погледнат картата на Атлантическия океан в Голямата съветска енциклопедия, ще се убедят, че площта с дълбочини 0-200 метра в близост до континентите е обширна, докато площта с дълбочини 200-1000 метра е далеч по-малка . В тази ивица с дълбочини 200-1000 метра, отнасяща се до континенталния склон, трябва да се начертае линия, която естествено се счита за „граница на континента“. По-късно ще видим, че този подход прави кореспонденцията между източната и западната граница на Атлантическия океан още по-поразителна.

Не е съвсем правилно, обаче, да се сравняват очертанията на континентите на картата. Добре известно е, че повърхността на сфера не може да бъде нарисувана на равнина без изкривяване. През 1958 г. Кери (S. W. Carey)  елиминира тази трудност, като направи подвижни прозрачни елементи на глобус, изрязани по очертанията на континентите, и показа, че те се прилепват много добре един към друг при правилно преместване. 

По същество, точността на съвпадение, която може се постигне по такъв наивен начин, изглежда достатъчна. Въпреки това някои големи авторите бяха скептични към съпоставките на Кери. Затова няколко английски изследователи – Булард, Еверет и Смит – решиха да извършат точни изчисления. Изчисленията им се отнасят до контурите на континентите, начертани по линията на дълбочините 100, 500 и 1000 метра. По пътя на  изчисленията бяха открити такива измествания на континентите, при които несъответствието между изместените контури се оказа най-малко. В разработката на Булард, Еверет и Смит „Прилягането на континента около Атлантическия океан“ (Bullard E., Everett I.E., Smith A.G. The fit of the continent around Atlantic // Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 1965.- Series A. V. 258. P. 41-45), е точно обяснена методологията на изчисленията им по метода на най-малките квадрати.

Най-добри резултати се получават, ако линията на дълбочината от 500 метра се счита за граница на континента.

Южният Атлантик почти напълно „се затваря“, когато Южна Америка напредва към Африка. 42

За да се получи също толкова добър резултат за Северния Атлантик, Европа (отделно от Испания), Гренландия и Северна Америка трябва да бъдат подложени на различни измествания по отношение на Африка.

Читателите могат да преценят резултата сами, като разгледат чертежа на третата страница на обложката на книгата. Припокриванията са оцветени в червено, а оставащите празнини – в  синьо. На повърхността на континентите е нанесена обичайната мрежа от меридиани и паралели, съответстваща на реалното им положение преди „придвижванията“.

Чисто геометричният подход на авторите към геологията е, разбира се, твърде опростен. При движение континентите несъмнено ще се  деформират. Известно е например колко голяма площ на равнините е „смачкана“ по време на образуването на планините. Независимо от това, успехът на описания чисто геометричен експеримент е достатъчно поучителен.

6. Автомати в живота

Докладът ми „Автомати и живот“, изготвен за семинара на научни работници и аспиранти от Механо-математическия факултет на Московския държавен университет, предизвика интерес сред най-широка публика. Популярно представяне на доклада беше подготвено от моя сътрудник в лабораторията по вероятностни и статистически методи на Московския държавен университет, Н. Г. Ричкова. То е правилно във всички съществени характеристики, макар понякога словесната формулировка на мислите и следователно някои от нейните нюанси да принадлежат на Н. Г. Ричкова. Ще изтъкна основните идеи на доклада, които представляват най-голям интерес за широка аудитория.

1. Определението за живота като „специална форма на съществуване на изградени от белтъци тела“ (Енгелс) беше прогресивно и правилно, докато се занимавахме само със специфични форми на живот, които се развиват на Земята. В ерата на космонавтиката има реална възможност да се срещнем с „форми на движение на материята“ (вж. статията „Живот“ в Голяма съветска енциклопедия), които имат основните и практически най-важни свойства на живите и дори мислещи същества, но да са подредени по различен начин. Следователно задачата за по-общо определение на понятието живот придобива съвсем реално значение.
2. Съвременните електронни технологии разкриват много широки възможности за моделиране на живота и мисленето. Дискретният (аритметичен) характер на съвременните изчислителни машини и автомати не създава съществени ограничения в това отношение. Системи от много голям брой елементи, всеки от които действа чисто аритметично, могат да придобият качествено нови свойства.

III. Ако свойството на определена материална система „да е жива“ или да има способността да „мисли“ бъде определено по чисто функционален начин (например всяка материална система, с която човек може разумно да обсъжда проблемите на съвременната наука или литература, да бъде призната като мислеща), тогава ще се наложи по принцип да признаем за осъществимо изкуственото създаване на живи и мислещи същества.

1. В същото време обаче трябва да се помни, че истинските успехи на кибернетиката и автоматизацията в това отношение са далеч  по-скромни, отколкото понякога се изтъкват в популярни книги и статии. Например, когато описват самообучаващи се автомати или автомати, способни да съставят музика или да пишат поезия, те понякога изхождат от изключително опростена представа за действителната същност на висшата нервна дейност на човека и по-специално творческата дейност.
2. Реалният напредък към разбирането на механизма на висшата нервна дейност, включително най-висшите прояви на човешкото творчество, естествено не може да намали нищо в стойността и красотата на човешките творчески постижения. Мисля, че това искаха да кажат редакторите на списание „Техника-Младеж“ („Техника-молодежи“), като сложиха „Материализъм – това е прекрасно!“ като едно от подзаглавията в изложението на доклада ми.

20 август 1964 г.

***

Принадлежа към онези изключително отчаяни кибернетици, които не виждат никакви фундаментални ограничения в кибернетичния подход към проблема за живота и вярват, че е възможно животът да бъде анализиран в неговата цялост, включително и човешкото съзнание с цялата му сложност, като се използват методите на кибернетиката. Много често се задават следните въпроси:

– Могат ли машините да възпроизвеждат себеподобни и може ли в процеса на самовъзпроизвеждане да се осъществи прогресивна еволюция, която да доведе до създаването на машини, значително по-съвършени от оригиналните?

– Могат ли машините да изпитват емоции: да бъдат щастливи, тъжни, недоволни от нещо, да искат нещо?

– Могат ли машините да си поставят задачи, които не са им възложени от техните конструктори?

Понякога се опитват да се отърват от тези въпроси или да обосноват отрицателните им  отговори, предлагайки например да се дефинира понятието „машина“ като нещо, което всеки път е изкуствено създадено от човека. С това определение някои от въпросите, да речем първия, автоматично изчезват. Но едва ли можем да считаме за разумно постоянното нежелание да се решат наистина интересни и сложни въпроси, криейки се зад принудително ограничено разбиране на термините. Въпросът дали е възможно по пътя на кибернетичния подход към анализа на жизнените явления да се създаде истински, реален живот, който самостоятелно ще се  продължава и развива сам по себе си, остава неотложен проблем на нашето време. Той вече е актуален и годен за сериозна дискусия, защото, от една страна, изучаването на аналогии между изкуствени автомати и настоящата реална жива система вече служи като принцип за изучаване на самите явления от живота, и – като метод, подпомагащ начина на създаване на нови автомати – от друга.

Има и друг начин да се отговори наведнъж на всички тези въпроси. Той се състои в препратка към математическата теория на алгоритмите. Математиците добре знаят, че във всяка формална система, която е достатъчно богата математически, е възможно да се формулират въпроси, които изглеждат съдържателни и смислени, те трябва да приемат възможността за наличие на категоричен отговор, въпреки че в рамките на дадената система такъв отговор не може да бъде намерен. Ето защо се провъзгласява, че развитието на самата формална система е задача на машината, а обмислянето на правилния отговор на въпроса вече е приоритет на човека и  преимушествено  свойство на човешкото мислене.

Подобна аргументация, обаче, използва идеализирана интерпретация на понятието „мислене“, с помощта на която може лесно да се докаже, че не само машината, но и самият човек не може да мисли. Тук се предполага, че човек може да даде правилни отговори на всякакви въпроси, включително на неформално поставени, и човешкият мозък е способен да произвежда неограничено сложни формални изчисления. Междувременно няма причина да си представяме човека по такъв идеализиран начин – като организъм с безкрайна сложност, в който се смесват безкраен брой истини. За да постигнем такова положение, вметваме това като шега, би било необходимо да разселим  човечеството по звездните светове, така че, използвайки безкрайността на света, да организираме формални логически изводи в безкрайното пространство и дори да ги предаваме по наследство. Едва тогава ще е  възможно да се предполага, че човечеството е в състояние да разработи всеки математически алгоритъм до безкрайност.

Но тази аргументация едва ли ще има отношение към реалния проблем. И във всеки случай, това не е пречка за поставянето на въпроса, дали е възможно да се създадат изкуствени живи същества, способни както на възпроизводство, така и на прогресивна еволюция и на най-висшите форми – способни на емоции, воля и мислене.

Същият въпрос е поставен елегантно, но формално, от математика Тюринг в книгата му „Може ли една машина да МИСЛИ?“ Възможно ли е да се изгради машина, която да не може да се различи от човек? Подобна постановка изглежда не по-лошо от нашата и освен това е по-проста и по-кратка. Всъщност тя не отразява напълно същността на въпроса. Защото, по същество, интересното не е във въпроса дали е възможно да се създадат автомати, които възпроизвеждат познатите ни свойства на човека. Искам да знам, дали е възможно да се създаде нов живот, също толкова добре организиран, макар, може би, много странен и напълно различен от нашия. В съвременната научна фантастика вече има произведения, които засягат тези теми. Интересен и остроумен е разказът „Приятел“ в сборника на Станислав Лем „Нашествие от Алдебаран“, в който машина иска да контролира човечеството. Фантазията на романистите обаче не е особено изобретателна. И. А. Ефремов например излага концепцията, че „всичко перфектно е подобно едно на друго“. Следователно, високо организираното същество трябва да има, по негово мнение, две очи и нос, макар и може би, в леко променена форма. В ерата на астронавтиката не е напразно предположението, че може да се наложи да се изправим пред други живи същества, много високо организирани и в същото време напълно различни от нас. Ще успеем ли да установим какъв е вътрешният свят на тези същества, способни ли са да мислят, присъщи ли са им естетически преживявания, идеали за красота или са им чужди и т.н. Защо, например, високо организираното същество да не се проявява като тънък филм – плесен, разпространен върху камъни?

6.1. Какво е живот? Възможно ли е изкуствено интелигентно създание?

Въпросът, който повдигнахме, е тясно свързан с другите: какво е животът, какво е мисленето, какво е емоционалният живот, естетическите преживявания? Каква е, да речем, разликата между последните и простите елементарни удоволствия от един пай, например, или нещо друго от този вид? Говорейки с по-сериозен тон, можем да кажем следното: точната дефиниция на такива понятия като воля, мислене, емоции все още не е формулирана. Но на естественото научно ниво на строгост такова определение е възможно. Ако ние не признаем тази възможност, ще бъдем невъоръжени срещу аргументите на солипсизма.

Ще ми се да се научим въз основа на фактите на поведение, например, да правим изводи за вътрешното състояние на живото високо организирано същество.

Как да изучаваме висшата нервна дейност, използвайки кибернетичен подход? Тук се отварят следните пътища: първо, човек може да изучи подробно самото поведение на животните и хората, второ, да изследва структурата на мозъка им, и накрая, понякога може да се задоволим и с така нареченото симпатично разбиране. Ако, да речем, просто внимателно наблюдавате котка или куче, тогава, без да знаете науката за поведението и условните рефлекси, можете напълно да разберете какво мислят и какво искат. По-трудно е да постигнете такова разбиране с птици или, например, с риба, но това едва ли е невъзможно. Това не е нов въпрос, отчасти вече е решен, отчасти можем лесно да го разрешим, отчасти – трудно. Опитът от индуктивното развитие на науката ни казва, че всички въпроси, които дълго време не са намерили решения, постепенно се решават и едва ли е необходимо да се мисли, че тук има предварително определени граници, отвъд които е невъзможно да продължим.

Ако приемем, че анализът на която и да е силно организирана система е естествена част от кибернетиката, ще трябва да се откажем от широко разпространеното мнение, че основите на кибернетиката включват само изследването на системи, които имат предварително определени цели. Кибернетиката често се определя като наука, занимаваща се с изучаване на системите за управление. Смята се, че всички такива системи имат общи свойства и тяхното свойство номер едно е наличието на цел. Това е вярно само докато всичко, което различаваме като организирани системи, управляващи собствената си дейност, е подобно на нас самите. Ако обаче искаме да изучим с помощта на методите на кибернетиката произхода на такива системи и тяхното естествено развитие, тогава горното определение става тясно. Малко вероятно е кабернетиката да поръча на която и да е друга наука да разбере, по какъв начин, чрез естествено развитие, обичайната причинно-следствена връзка в сложните системи води до възможността цялата система да се разглежда като целесъобразно действаща.

Обикновено понятието „да действаме целесъобразно“ включва предпазване от разрушителни външни влияния или, да речем, способността да подпомагаме собственото си възпроизвеждане. Пита се: действат ли кристалите целесъобразно или не? Ако „зародиш“ на кристал се постави в некристална среда, той ще се развие ли? Тъй като е невъзможно да се разграничат отделни органи в кристала, следователно това трябва да е някаква междинна форма. И съществуването на такива е неизбежно.

Очевидно частни задачи като тази ще се  решават от науки, пряко свързани с проблема. Опитът на отделните науки не бива да се пренебрегва. Но също така не бива да се изключват от съдържанието на кибернетиката общите представи за причинно-следствените  връзки в целесъобразно действащите системи, които си поставят цели. Точно така не бива, когато например се имитира животът, да се изключват автоматите, защото в хода на еволюцията се променят самите цели, а с това се променя и представата за тях.

Когато казват, че организацията на механизма на наследствеността, позволяващ на живите организми да предадат на потомците си своята целесъобразна структура, има за цел да пресъздаде даден вид, давайки му определени свойства, както и възможността за променливост чрез прогресивна еволюция, тогава кой си поставя тази цел? Или ако разгледаме системата като цяло, кой, ако не самата тя, поставя пред себе си целта за  развитие, като отсява безполезните екземпляри и възпроизвежда перфектните?

Обобщавайки, можем да кажем, че изследването на общата форма при появата на системи, в които е приложима концепцията за целесъобразност, е една от основните задачи на кибернетиката. Същевременно, изучаването на общата форма естествено предполага знания, които се абстрахират от детайлите на физическата реализация, енергетиката, химията, възможностите на технологията и пр. Тук ни интересува само как възниква възможността за съхранение и натрупване на информация.

Подобна широка формулировка на проблема съдържа в себе си много трудности, но на съвременния етап от развитието на науката вече е невъзможно да го изоставим.

Ако признаем важността на задачата да дефинираме с обемни обобщени термини съществените свойства на вътрешния живот (висшата нервна дейност) на някаква силно организирана система, която ни е непозната и е различна от нас, то не трябва ли да подхождаме по същия начин и към нашата система – човешкото общество? Бих искал да описваме всичко с един общ език, еднакъв за всички добре организирани системи и всички явления от живота на човешкото общество. Да си представим въображаем външен наблюдател на живота ни, който няма абсолютно никаква симпатия към нас, нито  способността да разбере, какво мислим и преживяваме. Той просто наблюдава голяма група организирани същества и иска да разбере как работи тя. По абсолютно същия начин, както, да речем, наблюдаваме мравуняк. След известно време той, може би, без много трудности ще може да разбере ролята на информацията, съдържаща се например в железопътните справочници (човекът загубва справочника и не може да се качи на желания влак).

Вярно е, че наблюдателят вероятно ще се сблъска с големи трудности. Как, например, той би разбрал следната картина: много хора идват вечер в голяма стая, няколко души се качват на подиум и започват да правят произволни движения с тялото си, докато останалите кротко си седят, накрая хората се разпръсват, без никаква предварителна дискусия. Един от младите математици, може би на шега, привежда и друг пример за необяснимо поведение: хората влизат в една стая, там получават бутилки с някаква течност, след което започват безсмислено да жестикулират. За външен наблюдател ще бъде трудно да установи дали това е просто разстройство в машината, някаква пауза в нейната непрекъсната осмислена работа, или може да се опише, какво се случва в тези два случая и да се установи разликата между тях.

Оставяйки шеговития тон настрана, нека формулираме сериозно проблема, който възниква тук: необходимо е да се научим с терминологията на поведението да описваме обективно самия механизъм. Такъв подход е фундаментален, за да можем да правим разлика между отделните видове дейности на една високо организирана система. За първи път у нас И. П. Павлов установи възможността за обективно изучаване поведението на животните и хората, както и на мозъчните процеси, регулиращи това поведение, при това без никакви субективни хипотези, изразени в психологически план. Дълбокото проучване на предложения проблем не е нищо повече от Павловската програма за анализ на висшата нервна дейност при цялото ѝ по-нататъшно развитие.

Създаването на високо организирани живи същества надминава възможностите на съвременните технологии. Но всякакви ограничителни тенденции, всяко недоверие или дори твърдението за невъзможността по рационални пътища да се постигне обективно описание на човешкото съзнание в неговата цялост сега биха били спирачка за развитието на науката. Решаването на този проблем е необходимо, тъй като тълкуването на различни видове дейности може да послужи като тласък за развитието на машинните технологии и автоматизацията. От друга страна, възможностите на обектния анализ на нервната система сега са толкова големи, че не бива предварително да се спираме пред проблем с някаква трудност. Ако техническите трудности бъдат преодолени, тогава въпросът за целесъобразността на изпълнението на съответната работна програма ще остане най-малкото спорен.

Въпреки това, в рамките на материалистическия мироглед няма никакви състоятелни аргументи срещу утвърдителния  отговор на нашия въпрос. Нещо повече, този положителен отговор сега е съвременна форма на вяра за естествения произход на живота и материалната основа на съзнанието.

6.2. Дискретна или непрекъсната мисъл?

В кибернетиката и теорията на автоматите сега е най-развита теорията за работата на дискретни устройства, т.е. такива устройства, които се състоят от голям брой отделни елементи и работят в отделни цикли. Всеки елемент може да бъде в малък брой състояния.

Промяната в състоянието на отделен елемент зависи от предишните състояния на относително малък брой елементи. Така са устроени електронните машини, предполагаемо така работи и човешкият мозък. Смята се, че мозъкът има такива отделни елементи – 1010 нервни клетки, а може би дори повече. Апаратът за наследствеността е подреден малко по-просто, но още по-грандиозно по отношение на обем.

Понякога се заключава, че кибернетиката трябва да се занимава само с дискретни устройства. Има две възражения срещу такава постановка. Първо, реалните сложни системи – както много машини, така и всички живи същества – наистина имат определени устройства, базирани на принципа на непрекъсната работа. При автомобилите за такъв пример може да послужи воланът и т.н. Ако се обърнем към съзнателната човешка дейност, не подчинена на законите на формалната логика, т.е. интуитивната или полуинтуитивна, например двигателните реакции, ще открием, че голямото съвършенство и усъвършенстването на механизма на непрекъснато движение се гради върху движения с непрекъснат геометричен характер. Ако човек направи троен скок или скок от пилон или, например, се подготви за дистанция по време на слалом, неговото движение трябва предварително да бъде отбелязано като непрекъснато (за математиците: пътеката на слалома се оказва дори аналитична крива). Може да се предположи обаче, че това не е радикално възражение срещу дискретни механизми. По-скоро – интуицията на непрекъснатата линия в мозъка се осъществява въз основа на дискретен механизъм.

Второто възражение срещу дискретния подход е следното: очевидно човешкият мозък и дори, за съжаление, често изчислителните машини, в никакъв случай не действат винаги детерминирано – по изцяло закономерен начин. Резултатът от тяхното действие в даден момент (в дадена клетка) нерядко зависи от случая. В желанието си да заобиколим тези възражения, можем да кажем, че е възможно да се „въведе произволност“ в автоматите. Малко вероятно е симулирането на случайност (т.е. замяна на случая с някакви там  закономерности, които не са от значение за работата) да причини сериозна вреда при моделирането на живота. Вярно е, че намесата на случайността често се разглежда някак примитивно: изготвя се достатъчно дълга лента от случайни числа, която след това се използва за симулация на случаи в различни задачи. Но при честа употреба тази подготвена „случайност“ в крайна сметка престава да бъде случайност. Въз основа на тези съображения към въпроса за симулиране на инцидент при  машини трябва да се подхожда с голямо внимание. По принцип, обаче, това е нещо поне възможно.

Току-що представеният аргумент ни води до следния основен извод.

Няма съмнение, че обработката на информация и процесите на управление при живите организми са изградени от сложното преплитане на дискретни (цифрови) и непрекъснати механизми, от една страна, и на детерминирани и вероятностни принципи на действие, от друга.

Дискретните механизми, обаче, са водещи в процесите на обработка на информацията и управлението при живите организми. Не съществуват последователни аргументи в полза на принципното ограничение на възможностите на дискретни механизми в сравнение с непрекъснатите.

6.3. Какво е „много голямо“?

Често, съмнявайки се във възможността за симулиране на човешкото съзнание при  автомати, се казва, че броят функции на висшата нервна дейност при човека е необятно голям и никоя машина не може да се превърне в модел на съзнателната човешка дейност в нейната цялост. В мозъчната кора има само 1010 нервни клетки. Какъв трябва да бъде броят на елементите в една машина, която имитира цялата сложна висша нервна дейност на човек?

Тази дейност обаче не е свързана с разпръснати нервни клетки, а с достатъчно  големи агрегати от тях. Невъзможно е да си представим, че да речем някакъв вид математическа теорема е „уседнала“ в една-единствена, специално създадена по предназначение за нея нервна клетка, или дори в някакъв определен брой такива. Очевидно това не е така. Нашето съзнание оперира с малки количества информация. Броят на единиците информация, които човек възприема и обработва в секунда, съвсем не е голям. Ето един донякъде парадоксален пример: състезател по време на слалом, изминавайки дистанция, възприема и обработва в рамките на десет секунди много повече информация, отколкото при други, сякаш по-интелектуални видове дейност, във всеки случай, повече от това, което математик пропуска през главата си за четиридесет секунди интензивна мисловна работа. Като цяло целият съзнателен живот на човек е подреден по някакъв много особен и сложен начин, но – парадоксално – когато се изучат неговите закономерности, за  моделирането му ще са необходими много по-малко елементарни клетки, отколкото за моделирането на целия мозък.

Какви обеми информация могат да създадат качествена уникалност на сложните явления като живот, съзнание и т.н.?

Можем да разделим всички числа на малки, средни, големи и много големи. Тази класификация не е строга, в нейните рамки няма да е възможно да се каже, че такова и такова число, например, е средно, а следващото след него вече е голямо. Тук числата се категоризират с точност до порядък, но повече строгост и не ни е нужна. Какви са тези категории? Нека започнем с определения, които само математиците могат да разберат.

1. Число А ще се нарече малко, ако е практически възможно да се изброят всички вериги от А елементи с два входа и изхода или да се запишат за тях всички алгебрични логични функции с А аргументи.
2. Числото Б се нарича средно, ако не сме в състояние да изброим практически всички вериги от Б елементи, но можем да изброим само тези елементи или (което е съвсем малко по-сложно) да изработим система за обозначение на всяка система от Б елементи.

III. И накрая, числото B е голямо, ако не сме в състояние практически да изброим такъв брой елементи, а можем само да установим система за обозначение на тези елементи.

1. Числата ще бъдат много големи, ако на практика и това не може да се направи; няма да имаме нужда от тях, както ще видим по-късно.

Нека сега обясним тези определения, като използваме достъпни примери.

Нека към една крушка са свързани три прекъсвача, всеки от които може да бъде в ляво (Л) или дясно (П) положение. Тогава очевидно възможните съвместни позиции на трите прекъсвача ще бъдат 23 = 8. Нека ги изброим за по-голяма яснота:

1) ЛЛЛ 3) ЛПП 5) ПЛЛ 7) ПЛП 

2) ЛПЛ 4) ЛЛП 6) ППЛ 8) ППП.

Окабеляването на нашите прекъсвачи може да се извърши по такъв начин, че във всяко от изписаните положения електрическата крушка да може да бъде включена или изключена. Ако преброите, се оказва, че ще има 223 различни позиции на прекъсвачи, т.е. 28 = 256 Читателят може сам лесно да провери валидността на това последно съждение, като допълни посочените позиции на прекъсвачи със знаци „включено“, „изключено“.

Фактът, че подобно упражнение е по силите на читателя и не му отнема твърде много време, ни убеждава, че числото 3 (броят на прекъсвачите) е малко. Ако нямаше 3 прекъсвача, а, да речем, 5, тогава ще трябва да изпишем 225 = 4 294 967 296 различни съвместни позиции на прекъсвачите, придружени от маркировките „включено“, „изключено“. Едва ли е възможно за някакво разумно време на практика да сторите всичко това, без да се изгубите. Следователно, числото 5 вече не може да се счита за малко.

За да изясним термина „средно“, нека дадем друг пример. Представете си, че сте в стая, където има 1000 души, и са ви помолили да се ръкувате с всеки от тях. Вярно е, че ръката ви ще омалее след това действие, но практически (във времето) е напълно възможно да направите такова упражнение. Вие наистина ще може да се приближите до всеки един от хилядата души и да му подадете ръка. Но ако последва предложение всички хиляда души присъстващи да разменят ръкостискания помежду си, на това отгоре, всеки екип от трима души допълнително да размени ръкостискания с всеки друг екип от трима и т.н., това би било немислимо. Числото 1000 е средно число. Можем да кажем, че „преброихме“ хиляда елемента, като същевременно маркирахме всеки един от тях (с ръкостискане).

Много прост пример за много голямо число е броят на видимите звезди в небето. Всички знаят, че е невъзможно да се преброят звездите с пръст, но въпреки това има каталог на звездното небе (тоест разработена е система за нотация), с помощта на която можем да получим информация за необходимата ни звезда по всяко време .

Естествено, изчислителната машина може, първо, да работи по-дълго, без да се умори, и второ, тя съставя различни схеми в пъти по-бързо от човек. Следователно във всяка категория съответните числа за машината ще бъдат по-високи, отколкото за човек.

Какво е поучителното в тази таблица? От нея  може да се види, че въпреки че съответните числа за машината са много по-големи, отколкото за човек, те остават от близък порядък с тях. Между числата от различни категории има непроходима неяснота: числата, които са средни за човек, не стават малки за машината, както числата, които са големи за човек, не стават средни за машината. 103 е несравнимо повече от 10, а 10100 е безнадеждно повече от 1010. Имайте предвид, че капацитетът на паметта на живо същество и дори на машина се характеризира със средни числа, а при много задачи, решавани чрез така нареченото просто изброяване, се ползват големи числа.

Тук веднага излизаме извън границите на възможностите за сравнение чрез просто изброяване. Задачи, които не могат да бъдат решени без много голямо изброяване, ще останат извън възможностите на машината до достигане на достатъчно високо ниво на развитие на технологиите и културата.

Стигнахме до това заключение без да се позоваваме на понятието безкрайност. Ние нямахме нужда от него и едва ли ще имаме нужда от него при решаването на реални задачи, възникващи по пътя на кибернетичния анализ на живота.

Но друг въпрос става важен: има ли проблеми, които се поставят и решават, без да е необходимо много голямо изброяване? Такива проблеми трябва да представляват интерес преди всичко за кибернетиците, тъй като те наистина са разрешими.

Принципната възможност за създаване на пълноценни живи същества, изградени изцяло върху дискретни (цифрови) механизми за обработка и управление на информацията, не противоречи на принципите на материалистическата диалектика. Обратното мнение може да възникне, само защото някои са свикнали да виждат диалектиката единствено там, където се появява безкрайността. При анализа на феномените на живота, обаче, не е важна диалектиката на безкрайното, а диалектиката на голямото число.

6.4. Внимание, увличаме се!

Понастоящем за кибернетиката, може би повече, отколкото за която и да е друга наука, е важно да се пише за нея. Аз не съм от  големите ентусиасти относно цялата тази литература по кибернетика, която напоследък  толкова широко се публикува, и виждам в нея голям брой преувеличения, от една страна, и опростявания, от друга.

Не може да се каже, разбира се, че тази литература твърди всъщност недостижимото, но в нея често има възторжени статии, от чиито заглавия вече се крещи за успех при моделирането на различни сложни видове човешка дейност, които в действителност все още са много лошо моделиран. Например в американската кибернетична литература и у нас, понякога дори в много сериозни научни списания, могат да се намерят статии за т. нар. машина за музикални композиции (това не се отнася за произведенията на Р. Х. Зарипов). Това обикновено означава следното: музикалната нотация на голям брой (да речем, 70) каубойски песни или, например, църковни химни, е „заложена“ в паметта на машината. Тогава машината, чрез първите четири ноти на една от тези песни, намира всички онези песни, където тези четири ноти се срещат в същия ред и, произволно избирайки една от тях, взема следващата, пета нота от нея.

Сега пред машината отново има четири ноти (2 3, 4 и 5) и тя търси и избира пак по същия начин. Така машината сякаш „създава“ някаква нова мелодия. В същото време се твърди, че ако в паметта на машината има каубойски песни, то и в нейната творба се чува нещо „каубойско“, а ако те са църковни химни, то се чува нещо „божествено“. Въпросът е, какво се случва, ако машината търси не четири, а седем последователни ноти? Тъй като в действителност две парчета, съдържащи седем еднакви ноти подред, почти никога не се срещат, тогава, очевидно, „изпявайки“ седем ноти от някаква песен, машината ще трябва да я изпее до края. Ако, напротив, машината трябва да знае само две ноти за собственото си творчество (а има толкова много музикални произведения с две еднакви последователни ноти), тогава тук тя ще има толкова богат избор, че вместо мелодия, от машината ще се чуе какофония от звуци.

Цялата тази проста схема е представена в литературата като „машинна композиция на музика“ и сериозно се заявява, че с увеличаване броя на нотите, необходими „за засявка“, машината започва да създава музика с по-сериозен, класически характер, а с намаляването на този брой – преминава към съвременен, джазов.

Днес все още сме много далеч от анализа и описанието на най-висшите форми на човешка дейност, дори не сме се научили в обективни термини да даваме определения на много категории и понятия, срещани тук, а не само да моделираме такива сложни видове на тази дейност, които включват създаването на музика. Ако не знаем как да разберем разликата между живите същества, които се нуждаят от музика, и съществата, които не се нуждаят от нея, тогава, започвайки веднага от машинно композиране на музика, ще можем да симулираме само чисто външни фактори.

„Композиране на машинна музика“ е само пример за опростен подход към проблемите на кибернетиката. Друг често срещан недостатък е, че защитниците на кибернетиката са толкова увлечени от възможностите на кибернетичния подход за решаване на който и да е от най-сложните проблеми, че си позволяват да пренебрегнат опита, натрупан от други науки през дългите векове на съществуване. Често се забравя, че анализът на висшите форми на човешка дейност е започнал отдавна и е стигнал доста далеч. И въпреки че се провежда в други, а не кибернетични термини, той по същество е обективен и трябва да се научава и използва. А това, което кибернетиката е успяла да направи с „голите си ръце“ и около което се вдига такава врява, често не излиза извън обхвата на изследването на най-примитивните явления.

Веднъж на една вечер в Московския дом на писателите един от участниците говорил от трибуната за това, че нашето време трябвало да създаде и вече е създало нова медицина. Тази нова медицина била достояние и предмет на изследване не от страна на лекари, а от специалисти по теория на автоматично управление! Най-важното в медицината, според лектора, са цикличните процеси, протичащи в човешкото тяло. И такива процеси са просто описани от диференциалните уравнения, изучавани в теорията на автоматичното управление. Така че изучаването на медицината в медицинските институти изглеждало някак остаряло – то  трябвало да бъде прехвърлено под юрисдикцията на висшите технически и математически институти. Може да е вярно, че специалистите по теория на автоматичното управление могат да си кажат думата при решаването на определени проблеми, пред които е изправена медицината. Но ако искат да участват в тази работа, първо ще им трябва колосална предварителна квалификация, тъй като опитът, натрупан от медицината, тази най-стара от науките, е огромен и за да направите нещо сериозно в нея, трябва първо да го овладеете.

6.5. Защо само крайности?

Като цяло, анализът на висшата нервна дейност в кибернетиката е концентриран досега на двата крайни полюса. От една страна, кибернетиката активно изучава условията на рефлексите, тоест най-простия тип висша нервна дейност. Навярно всеки знае какво е условен рефлекс. Ако два дразнителя се извършват многократно едновременно помежду си (например, звънецът се включва едновременно с доставката на храна), тогава след известно време един от тези дразнители (звънец) предизвиква реакция на тялото (слюноотделяне) на друг дразнител (доставка на храна). Това взаимодействие е временно и ако не се подсилва, постепенно изчезва. Значителна част от кибернетичните проблеми, които сега са известни под наименованието математическа теория на обучението, обхващат такива много прости схеми, които не изчерпват дори малка част от цялата сложна висша нервна дейност на човек и при анализа на самите условно-рефлексни дейности представляват само началния му етап.

Другият полюс е теорията на формалните логически решения. Тази най-висша страна на първична човешка дейност се поддава добре на изучаване с математически методи и със създаването на изчислителни технологии и изчислителна математика, изследванията от този вид бързо се придвижват напред. И тук кибернетиците  успяват по много начини.

А цялото обширно пространство между тези два полюса – най-примитивните и най-сложните умствени действия – се изучава много малко, да не кажа, че изобщо не се изучава. Дори такива прости форми на синтетична дейност като, да речем, механизмът на точно изчисленото геометрично движение, който беше споменат по-горе, все още са слабо податливи на кибернетичен анализ.

6.6. Кибернетика и език

Понастоящем математическата лингвистика заема специална позиция. Тази наука все още се създава и развива, докато кибернетичните проблеми, свързани с езика, се натрупват. Той се занимава с анализ на висшите форми на човешка дейност от интуитивен, а не от формално-логически характер, тъй като тази дейност не се поддава добре на точно описание. Всеки знае какво е добре оформена фраза, правилната координация на думите и т.н., но все още никой не може адекватно да предаде тези знания на машина. Точен, логически и граматически безупречен машинен превод сега би бил възможен само от латински и на латински, чиито граматически правила са доста пълни и недвусмислени. Граматичните правила на новите, живи езици, очевидно все още са недостатъчни за прилагането на машинен превод с тяхна помощ. Необходимият тук анализ отдавна ни занимава и сега машинният превод се превърна в обект на широко и сериозно организирана дейност. Може би можем да кажем, че понастоящем именно върху него е насочено основното внимание на математическите лингвисти. В теоретичните трудове по математическа лингвистика, обаче,  твърде малко се отчита едно обстоятелство, а именно фактът, че езикът е възникнал много по-рано от формалното логическо мислене. Може би за теоретичната наука едно от най-интересните изследвания, в което могат естествено да се съчетаят идеите на кибернетиката, новия математически апарат и съвременната логика, е изследването на процеса на словообразуване като втора сигнална система. Първоначално, при пълното отсъствие на понятия, думите се появяват в ролята на сигнали, които предизвикват определена реализация.

Появата на логиката обикновено се приписва на относително скорошно време: очевидно едва в Древна Гърция бива ясно разбрано и формулирано, че думите не са просто обозначения на някои непосредствени изображения и образи, а че понятието може да бъде отделено от дума. Преди настоящото формално-логическо мислене, мислите не възникват, формализирани в понятия, а като комбинация от думи, които водят след себе си други думи, в опит за директно фиксиране на потока от образи, преминаващи пред нашето съзнание и т.н. Да се проследи изкристализирането на думите като сигнали, носещи в себе си комплекс от образи, и създадената на тази основа ранна логика е изключително благодарна област за изследване, по-специално за един математик, и това многократно е отбелязвано в кибернетичната литература .

Следващият въпрос също може да изглежда интересен: как се формулира логическата мисъл на човека? Нека се опитаме да следваме етапите на този процес, като използваме примера на математик, работещ върху проблем. Отначало, очевидно, е налице  желание да се разследва този или онзи въпрос, след това сякаш от нищото възниква някаква приблизителна идея за това, което се надяваме да получим в резултат на нашите търсения и по какви начини можем да постигнем това и вече при следващата стъпка пускаме в действие своята вътрешна „добавяща машина“ на формално-логическо мислене.

Това очевидно е начинът за формиране на логическа мисъл, такава е и схемата на творчеството. Може би е интересно не само да се изследва първият, интуитивен етап от този процес, но и да се постави целта да се създаде машина, която може да подпомогне човека в творческия процес при етапа на формиране на мисъл (математика, например, при етапа на оформление на изчисления), възлагайки, да речем, на такава машина да разбира и записва изцяло всички неясни, спомагателни скици на чертежи и формули, които всеки математик нахвърля на хартия в процеса на творчески търсения, или, например, да пресъздаде по записки и скици изобржения на фигури в многомерни пространства и т.н. С други думи, интересно е да се мисли за създаването на машини, които без да заменят човек, вече биха му помогнали в сложните процеси на творчество. Все още е трудно дори да си представим как и по какъв начин може да бъде внедрена такава машина. Но въпреки че тази задача засега е далеч от решаването, разговорът по  всички подобни въпроси вече е възникнал в кибернетичната литература, което очевидно може да бъде само приветствано.

Както вече можахте да видите няколкото праведни дотук примера, има много различни проблеми, свързани с разбирането на обективната структура на най-фините части на висшата нервна дейност на човека. И всички те заслужават дължимото внимание на кибернетиците.

6.7. Материализъм – това е прекрасно!

В заключение трябва да се спрем на въпросите, касаещи, ако мога така да кажа, етичната страна на идеите на кибернетиката. Често срещаното отричане и отхвърляне на тези идеи произтича от нежеланието да се признае, че човекът е наистина сложна материална система, но система с крайна сложност и много ограничено съвършенство и следователно е достъпна за имитация. Това обстоятелство изглежда унизително и ужасно за мнозина. Дори възприемайки тази идея, хората не искат да се примирят с нея: такава картина на всеобхватно проникване в тайните на човека, до възможността, така да се каже, да го „кодира“ и „изпрати по телеграфа” на друго място, им изглежда отблъскващо и плашещо. Съществуват и страхове от друг вид: нашата вътрешна структура като цяло поддава ли се въобще на изчерпателно обективно описание? Предлага се, например, да се постави пред кибернетиката задачата да се научи да разграничава по обективни критерии същества, които се нуждаят от сюжетна музика, от същества, които не се нуждаят от нея. Какво ще стане, ако анализираме, анализираме и се окаже, че всъщност няма разумна причина да се откроява такава музика като по-благородна в сравнение с други съзвучия.

Струва ми се важно да разбера, че няма нищо унизително и ужасно в този стремеж да разбереш себе си докрай. Такива настроения могат да възникнат само от полупознание: реално разбиране на цялото величие на нашите възможности, усещането за дълготрайното присъствие на вековна човешка култура, която ще ни се притече на помощ, трябва да ни прави огромно впечатление, трябва да предизвиква възхищение! Цялото ни устройство вътрешно е разбираемо, но също така е разбираемо, че това устройство съдържа в себе си колосални, неограничени възможности.

Всъщност трябва да се стремим да заменим този глупав и безсмислен страх от имитиращите ни автомати с огромно удовлетворение от факта, че такива сложни и красиви неща могат да бъдат създадени от човек, който съвсем до скоро намираше  простата аритметика за нещо неразбираемо и възвишено.

Вземете (Доживотен) абонамент и Подарете един на училище по избор!