Математици и физици = котки и кучета?

Share on facebook
Share on twitter
Share on linkedin
Share on email
„Тази статия е от спец. брой „Физици и математици – кучета и котки?“

Утвърдителен отговор на този въпрос бе написан в рецензията на прочут физик относно статия на прочут математик.

Текстът по-надолу следва плътно моето изказване по време на дискусията на кръглата маса на 95-тата конференция на статистическата физика в Рътгърс, май 2006, организирано от Дж. Лебовиц. Темата беше „Необяснимата ефективност на математиката в природните науки“, формулирана от Юджийн Вигнър в неговата лекция „Курант“ пред Нюйоркския университет. Лекцията на Вигнър бе изнесена на 11 май 1959-а година, т.е. преди почти 50 години. Други участници в скорошната дискусия бяха Ф. Андерсън, Ф. Дайсън и Е. Уитън. Председателят на сесията беше М. Фишър. Вигнър публикува статия със същото име в [CPAM, vol. 13, No. 1]. Тя започва със следната история. Млад статистик, който работи над проблеми върху ръста на населението, обяснява на свой приятел трудностите, които е срещнал и му показал някои резултати от своя анализ. Приятелят забелязал π във формулите му и го попитал какво означава. Статистикът отвърнал, че π e площта на кръг с радиус 1. Тогава приятелят казал: „Искате да ме убедите, че площта на кръга има нещо общо с ръста на населението?“

В края на статията Вигнър също написа: „Чудото на приложимостта на езика на математиката за формулиране на законите на физиката е удивителен дар, който ние нито разбираме, нито заслужаваме. Трябва да сме благодарни за него и да се надяваме, че ще продължаваме да го получаваме и в бъдещите изследвания и че той ще се разширява за добро или зло, за наше удоволствие, а дори за наше объркване в широки клонове на знанието“.

Прочутите статии на Вигнър върху ансамбли от случайни матрици се появиха няколко години преди тази статия. Трудно е да си представим съвременната физика без алгебричната геометрия и топологията. От друга страна, теоретичната физика, по-специално теория на струните осигурява множество красиви и важни задачи за тази част от математиката. Въпреки това, физиците невинаги са оценявали високо математиката. Водещият руски физик Л. Ландау веднъж каза, че най-добрият физик в СССР е Я.Френкел, който използва в своите статии само квадратни уравнения. Ландау от своя страна е малко по-лош, защото от време на време прибягва до обикновени диференциални уравнения. Математическата част на прочутия теоретичен минимум на Ландау съдържа само проблеми от интегрирането, векторния анализ и обикновени диференциални уравнения. Забележки в същия стил са пръснати из учебниците на Ричард Файнман. Математиците отговориха на това, като казаха, че физиците изучават математиката, както престъпниците наказателния кодекс (И.М. Гелфанд). Някои причини за тази враждебност бяха очевидни. В математиката доминиращият стил се базираше на аксиоматичния подход, епсилон-делта доказателства и силни изисквания за логическа строгост. Във физиката имаше тенденция към усложнени схеми на петурбационната теория, диаграми и т.н., които са много трудни за възприемане от страна на класическите математици.  Очевидно, това беше студена ера на отношения от тип „куче и котка“.

По-късно, математиците започнаха редовно да посещават семинари и конференции във физиката и броят на математиците, които разбират дълбоко физичните проблеми нарасна значително за едно или две поколения. Изглежда, че започна в края на петдесетте, когато физиците разбраха, че могат да намерят нещо полезно в модерната математика, за което не са знаели. Нека дам два примера, свързани с известната KAM-теория. Един физик ми каза, че КАМ-теорията е толкова естествена, че трябва да е била измислена от физици. В края на петдесетте, двама известни физици Л.А.Арзимович и М.А.Леонтович дойдоха в Московския държавен университет на семинар, воден от А.Н. Колмогоров, за да обяснят проблема за съществуване на магнитни повърхности, който беше от огромно значение по това време. Л. А. Арзимович, един експериментатор, беше докладчикът. Неговото слово беше много кратко и вдъхновяващо и скоро след това. В. Арнолд реши основния проблем с помощта на КАМ-теорията. Това събитие бе смятано за края на студената ера „куче и котка“.


РЕКЛАМА:

***

По мое мнение е много важно и полезно за математиците, които решат да работят по проблеми, свързани с физиката да имат редовни контакти с физици. Аз често се срещах с И.М. Лифшиц, който беше водещият теоретичен физик на своето време. Когато се срещнахме за първи път, той ме попита с какво се занимавах. Когато отговорих, че това е ергодичната теория, той отбеляза: „Ергодичната теория обяснява защо всяка връзка на обувка рано или късно се развързва“. По време на следващата ми визита се опитах да обясня на Лифшиц общите ни с моя студент С. Пирогов резултати за фазовите диаграми на решетъчните модели при ниски температури.  Той започна да слуша, но много бързо каза, че всичко е просто и очевидно. Тогава той написа няколко формули, с които изведе нашите резултати.  Почувствах се много засрамен и само след известно време разбрах, че формулата за логаритмите на статистическите суми, които той използва, са последният и най-труден резултат на нашата теория.

Сходна реакция дойде от И.М. Гелфанд. Когато му обяснихме резултатите си, той отбеляза, че за физиците всичко би трябвало да е очевидно. Въпреки това, когато го попитахме дали трябва да напишем текст с детайлно изложение на цялата теория, той отвърна: „Да, добре“.

Има много други случаи, в които реакциите на физиците бяха изненадващи и много различни от тези на математиците. Веднъж аз се завърнах в Москва от моето пътуване в САЩ и обясних на мой приятел, който беше физик хипотезата, която бях чул от Т. Спенсър за изобилието от стойности на параметъра, за които стандартното изображение няма КАМ-острови. Моят приятел помисли малко и каза: „Сигурно е страхотна математическа теорема, защото ние, физиците, не го предвидихме“. Въпреки това, след известно време той написа в една от следващите си публикации, че, както всеки знае, стандартното изображение има стойностите на параметъра, за които няма острови.

Понякога математиците разбират твърде буквално твърденията или резултатите на физиците. Преди няколко години имаше статия на М. Бери и М. Табор, в която те твърдяха, че разпределенията на разстоянията между най-близките стойности на Лапласианите с интегруеми метрики схождат към закона на Поасон. От вероятностна гледна точка това твърдение изглежда много обещаващо и аз прекарах две години в опити да го докажа.  Накрая успях да докажа, че е вярно за случайни интегруеми метрики. Доколкото знам нищо не е доказано за конкретни метрики. Наскоро обсъдих проблема с физик и той ми каза, че те под Поасонов закон разбират твърдението, че втората корелационна функция клони към положителна граница, когато разстоянието клони към нула. Очевидно, това предполага отсъствие на отблъскване на нива, което е и главният проблем. Но това е много по-проста теорема и може да се докаже лесно под много общи условия.

Сега е повече или по-малко обичайно да се поканят математици да държат слово на физични семинари. След едно такова слово на голям семинар по теоретична физика, председателят ме попита за възможни приложения в експерименталната физика. Аз отговорих, че за мен теоретичната физика играе същата роля, каквато експерименталната физика играе за него. Не беше шега. Обикновено не вярвам на физиците, докато не намеря мое собствено доказателство, или най-малкото, обяснение на техните резултати. Поради тази причина голяма част от теоретичната физика лежи извън моето разбиране. Моят покоен приятел Б. Л. Добрушин веднъж отбеляза, че всеки математик построява за себе си собствена теоретична физика. Това със сигурност е преувеличение. Все пак, вярно е, че световете на математиците и физиците са много различни и има граница, която ги разделя. Границата е много индивидуална и всеки я избира за себе си.

За автора

Яков Синай е професор в катедрата по математика на Принстънския университет. Неговите награди включват наградата Уолф, наградата Немерс, членство в Националната академия на науките на САЩ, Американската академия на изкуствата и науките, Руската академия на науките.

Библиография:

Sinai, Y. G. (2006). Mathematicians and physicists = Cats and dogs? Bulletin of the American Mathematical Society, 43(4), 563-565. https://doi.org/10.1090/S0273-0979-06-01127-X

 

Автор: Яков Синай, превод: Лъчезар Томов
С благодарности към Асен Чорбаджиев и Тодор Попов за консултациите, от преводача