Направи дарение на училище!

Автор: Лъчезар П. Томов

Хората (или учениците) нямат недостатъци, само уникалност. Целта на добрия учител е да превърне тази уникалност в предимство.

Израел Гелфанд

Историята на Израел Гелфанд

Математиката за мен е един универсален и адекватен език на науките и е пример как хора от различни култури и среда могат да общуват и работят заедно. Това е изключително важно в наше време.

Разбери повече за БГ Наука:

***

Израел Гелфанд, в реч при приемане на наградата на името на Лирой Стийл

Израел Гелфанд се нарежда сред най-големите учени на двадесети век. Сравняван с Поанкаре и Хилберт от Анри Картан, той е роден на 2.09.1913 в град близо до Одеса и умира на 5.10.2009. Талант от първа величина, той изследва и открива сам много теореми, доказателства и модели в математиката(вкл. табличните стойности на тригонометричните функции), а в училище получава най-важното – окуражаване от своя учител. В девети клас е изгонен от училище като син на буржоазен елемент (нетрудов елемент). През следващите 7 години, той има достъп до много базови учебници по висша математика, изостанали от съвременното развитие на анализа и алгебрата. Това е период, който той нарича „артистичен“, време, в което експериментира и открива сам най-различни зависимости. Откритието, че не всички проблеми в геометрията могат да се решат алгебрично (и са нужни специални функции като тригонометричните) оставя дълбок отпечатък у младия Гелфанд.  Скоро следва и обратното откритие, дошло на болничното легло – функцията sin(x) може да се изчисли като сума на безкраен брой елементи (безкраен ред). Тогава той е повярвал в единството и хармонията на математиката и в скритите връзки между отделните нейни клонове, изглеждащи несвързани на пръв поглед. Това е предопределило и посоката на неговите изследвания, но и на начина, по който той преподава.

След седем години самостоятелно учене, Гелфанд отива да работи в Москва, в библиотеката на Ленин. Там получава достъп до съвременна литература от всеки клон на науките и изкуствата, възможност да говори със студенти по математика и да посещава семинари. Скоро той започва да преподава на студентите и е приет като докторант без да има дори гимназиална диплома. Тогавашната система не е била достатъчно регулирана и формализирана, за да спре този негов скок. Свободата е позволила на този гений да се развие по най-добрия възможен начин. Освободен от гимназия, той се учи със собствени сили и своя скорост, а приемането му за докторант без необходимата диплома поради острата кадрова нужда на СССР му помага да се развие максимално. Както той разказва в анекдот: „Преподавателят се ядосал на студентите, които не разбирали и им казал: – Как така не разбирате? Пет пъти ви обясних, вече дори аз разбрах това, което ви преподавам.“.

През дългия си живот, Израел Гелфанд има редица открития от първа величина в различни клонове на висшата математика като теория на групите (алгебра), функционалния анализ, геометрия. Изследвания прави и в молекулярната биология и медицината и дори ръководи семинар по тази тема. Печели редица награди, сред наградата „Волф“, наградата „Киото“, медала на името на Лирой Стийл и др. За свои учители той изброява редица големи имена от СССР, като най-голямо влияние отдавана Андрей Колмогоров, от когото научава, че „истинският математик трябва да бъде философ по природа“. Освен приносите си в науката, той има и приноси в педагогиката, които са предметът на статията.  Той е създател на дистанционното обучение чрез кореспонденция, първо в СССР, после и в САЩ,  към университета Рътгърс (Rutgers University). Негови ученици са редица влиятелни математици като Александър Кирилов, Ендре Шемереди и др. Влиянието, което упражнява в математиката чрез своите работи и тези на неговите ученици, се оценява като едно от най-големите през 20-ти век. 

Ролята на доброто обяснение

Математиката е много проста, ако я разбирате. Изглежда твърде усложнена, защото учениците в гимназията трябва да научат, понякога дори наизуст много и несвързан помежду си материал. Математиката се състои всъщност от няколко базови концепции, които прилагаме.

Ранният опит чрез самообучение на Гелфанд е близък до опита на Дьорд Поѝа, поради което и методите на преподаване им са сходни. Също както редица големи имена в математиката, които са били добри педагози като Хилберт или Курант, той набляга на простотата на обяснението, нагледността и интуитивното описание. “Обяснете ми това чрез прост пример” – казвал той – „аз ще мога да си изведа трудния пример и сам.“. „Не се страхувайте да задавате прости въпроси и да получавате прости отговори“ – друга негова, често повтаряна сентенция. Работата му на педагог прилича на работата му като математик, като туй той е сходен с Хилберт (от когото се е учил и Колмогоров, ръководителят на дисертацията на Гелфанд). Той разбира математиката в дълбочина, вижда нейното единство и хармония и намира начини да представи по-просто всеки един проблем. За него един Московски математик казва: „Гелфанд не може да доказва трудни теореми. Той просто превръща всяка една теорема в лесна.“. Пример за просто обяснение в елементарната математика (приписвано на него е следният:

Хората си мислят, че не разбират математиката, но всичко зависи от това как ще им я обясните. Ако попитате кое число е по-голямо – 2/3 или 3/5, може би няма да дадат правилен отговор. Но ако промените въпроса:

– Кое е по-добре – две бутилки водка на трима или три бутилки на петима, веднага ще ви отговорят „Разбира се, две бутилки на трима!“

Едва осемнадесетгодишен и без формално образование, Гелфанд преподава на по-възрастни от него студенти, но бързо става известен с гъвкавия си стил, адаптиращ се към индивидуалните особености на студентите. Когато замества други преподаватели, в края на периода студентите често се оплакват, че не искат те да се връщат обратно. Според свидетелства на негови колеги, той използва най-простите примери, но ги преобръща под нови, неочаквани ъгли– намира връзките между различни дялове на математиката и ги демонстрира. Това има предвид, когато казва, че добрият математик трябва да е философ по природа. Философът разкрива връзките между отделните предмети, обединява ги в единно знание, показва любов към мъдростта. Самият Питагор, на въпрос с какви изкуства (като геометрия, музика, астрономия) се занимава, отвръща така: „- Аз не се занимава с изкуства. Аз съм философ.“. Философът по природа търси единството на природата, отблясъкът от учението на Парменид, единството на знанието. Гелфанд не преподава функционален анализ, теория на репрезентациите или теория на групите, той преподава математика. Започва от простото и дава възможност на студентите и учениците сами да разработят сложното – един негов метод за преподаване, чрез решаване на задачи, същият, който прилага и друг голям математик и педагог – Дьорд Поѝа. Доброто обяснение е простото обяснение, а сложното е следствие на простото и трябва да се развива колкото се може повече самостоятелно.

Ролята на учителя

Живеех в малък град със само едно училище. Моят учител беше мил, но страшно изглеждащ мъж на име Титаренко. Той имаше голям казашки мустак. Не съм имал по-добър учител, въпреки, че знаех повече от него и той го знаеше. Той много ме харесваше и ме окуражаваше по всеки възможен начин.  Окуражаването е най-важната работа на учителя, не е ли така?

Израел Гелфанд,

интервю за списание Quantum

Академик Александър Спирин (биохимик,основател на института за изследван на протеините към Руската академия на науките в Москва), разказва за отношението на Израел Гелфанд  към младия Скулачев (от първо лице) на прочутия семинар по биология, който той ръководи:

„Добре, че седнах на последния ред: имах време да помисля по темата на доклада си, докато минавах през дългата заседателна зала на Института по биофизика. Реших да говоря за идеята си, че ензимът е не просто много мощен катализатор за различни химични процеси, а интелигентен катализатор, който независимо оценява, така да се каже, вътреклетъчната конюнктура и на базата на такава оценка решава къде, кога и в каква посока да води реакцията, която ускорява … За щастие току-що изпратих ръкопис за книга, в която представих концепцията за самонастройващ се катализатор.

Ако не самата идея, то поне начинът на аргументиране й изглеждаше свеж за уважаваната публика. Бях прекъснат, засипан с въпроси, на които явно отговорих доста добре. По някое време Гелфанд изведнъж скочи, огледа стаята и възкликна:

– Слушай, къде го намери?!

Спирин се усмихна доволно. И тогава бях увлечен като Остап Бендер: в моя доклад аз прекрачих малко отвъд границата, разделяща фактите от измислицата, и отговорих на следващите няколко въпроса твърде нахално. Вярно, бързо го осъзнах и времето за семинара свърши.

– Е, да тръгваме? – попита Гелфанд и в залата се разнесе одобрително жужене.

Така станах член на известния биологичен семинар и останах там четвърт век, докато той не се затвори в края на 80-те години. Но само десет години след представянето ми в полза научих истинското мнение на Гелфанд за този доклад.

По някакъв начин на Израил Моисеевич му се стори, че друг оратор съгрешава малко срещу истината в името на красотата на неговата концепция. Гелфанд го прекъсна и разказа история за един ленинградски актьор, решил да напише своите мемоари. Той изпрати ръкописа на московски литературен приятел за съдебен процес, придружен от бележка: „Изпращам мемоари. Надявам се вие ​​сами да разберете къде е истината в тях и къде е моят талант!“

– Струва ми се, че сте поставили пред нас същата задача, опитвайки се да направите доклада красив. Но ако искам нещо красиво, предпочитам да отида на кино! – увери ръководителят на семинара и продължи: – Помните ли как Скулачев в първата си реч в края също се плъзна в красотата? Оттогава това, според мен, не му се е случвало повече.

Бях изумен, че той улови недостатък в доклад по конкретна тема, далеч от научните му интереси. Не по-малко изненадващо беше, че Гелфанд не каза нито дума за това в деня на моята реч, но се изказа много години по-късно, позволявайки ми да възпитавам чувствителна и здравословна самокритика.

Гелфанд беше душата на семинара, неговият мозъчен център, камертон, чрез проверка, с който всеки от нас, неговите ученици, можеше точно да определи дали нашите произведения заслужават внимание.“

В края на 80-те години Гелфанд емигрира в САЩ, но след време се връща в Москва да изнесе отново легендарния си семинар. Каква е реакцията на неговия ученик:

Когато разбрах, че Гелфанд е там, се втурнах нагоре и погледнах в класната стая, за да видя учителя си поне отдалеч. Израил Моисеевич ме забеляза и излезе в коридора. Постояхме известно време, мълчаливо се гледаме. Обикновено не съм сантиментален, но след това в очите ми се появиха сълзи. Гелфанд ме прегърна силно, изправи се на пръсти и ме целуна по челото. Разбрах, че любовта ми към него не е била несподелена.

Визията на Гелфанд за учителя е на първо място помощник и ментор, някой, който насърчава и води младите, не авторитарното отношение и суровата критика, което да ги откаже от научните занимания. Той самият е имал такъв ментор в лицето на Титаренко, защото е знаел повече от него и се е учил главно сам. Въпреки това той не би се научил така без своя учител.  Парадоксално, колкото по-способен е някой да се научи сам, толкова по-голяма нужда има от своя ментор, учител, който не е инструктор, а негов водач – с критика, но и с подкрепа. Така е било и за Паскал с неговата кореспонденция с Ферма, така е за Халей и кореспонденцията с Нютон, в която Нютон е учител за Халей, но Халей е ментор на Нютон. Така е правил още Сократ с неговия подход за задаване на въпроси към учениците и тяхното самостоятелно изследване. Така описват Гелфанд и негови колеги: „Методът на работа на Гелфанд е диалогичен. Почти никога не е работил сам, но със своите ученици, служители и колеги“. Гелфанд играе активна роля в развитието на московските математически олимпиади, сред основателите е на второто математическо училище, не смята състезанията по математика и решаването на задачи за единственото важно нещо за учениците:

„Сам научих много неща, работейки с момчетата от Второ училище. Работейки с ученици, разбрах по-добре, че човек не може да се интересува само от математика и че математиката не е спорт. […] Математикът е този, който разбира. Необходимо е не само да можете да решавате трудни задачи, но и да разбирате математиката. […] Искам да посоча четири важни характеристики, общи за математиката, музиката и други науки и изкуства: първо – красота, второ – простота, трето – прецизност и четвърто – луди идеи. „“

Въпреки, че говори за разбиране и, че не всичко е трудни задачи, Гелфанд учи чрез поставяне на задачи младите, не, чрез директно преподаване на готови, абстрактни концепции от висшата математика. Както той казва: „Нови неща не могат да се правят с концепции.“. Той смята, че висша математика може да се преподава и на по-младите и в своя семинар с времето започва да включва и гимназисти, като тук фокусът е решаването на определени задачи, но това не са безкрайно трудните задачи, развиващи техниката на олимпиеца, това са творчески задачи:

„Андрей Николаевич Колмогоров учи в Московското висше техническо училище до втората или третата година – той не знаеше дали е подходящ [за математика]. Можете да ги учите много рано, ако поставяте задачи правилно, а не да преподавате концепции. “

Колко трудни трябва да са задачите? За Гелфанд те не са лабиринти за изминаване, а семена за посяване:

Има предложение: да се стартира тетрадка „Задачи и задачи“. Задачите са такива, че могат да бъдат обяснени на първокурсниците. Само те [задачите] трябва да имат смисъл. От тях трябва да пораснат дълбоки неща 

Дьорд Поѝа, който споделя същия подход, дава пример с изопериметричната задача- да се намери фигурата, която има най-голяма площ при дадена обиколка. Това е проблем, разглеждан още от античните автори и развиван чак до 20-ти век, в основата на вариационното смятане.  Фигурите с по-висок ред на симетрия дават по-голямо лице при същата обиколка, или по-голяма обиколка при същото лице. Да сравним правоъгълник, равностранен триъгълник и квадрат с лице 100cm^2. Правоъгълникът е със страни a=20cm^2, b=5cm и обиколка P=2(a+b)=50cm. Равностранният триъгълник с лице 100cm^2 ще има страна a15.2cm и обиколка 45.6cm. Квадратът ще има страна 10cm и обиколка 40cm. 

Защо квадратът има по-малка обиколка за същото лице?. Ако го разрежем надлъжно на две и залепим двата правоъгълника, образувани него, ще получим правоъгълник със същото лице, но със страни a=10+10=20cm,b=5cm, или нашият оригинален правоъгълник с обиколка от 50cm. Ако отново разделим надлъжно и сглобим нов правоъгълник, той ще е двойно по-дълъг, с по-голяма обиколка, но със същата площ… и така можем да продължаваме безкрайно. Най-малка обиколка за тази площ имахме в началото, когато разликата между ширина и височина беше 0 – когато имахме квадрат.

 Формата, която има най-висока степен на симетрия е окръжността, но за това доказателство са нужни хилядолетия на развитие на математиката.

Гелфанд също дава задачи, които могат да доведат до дълбоки и плодотворни изследвания у учениците и студентите. Това е и неговият стил. Той има и предимството да работи в множество области на математиката едновременно, да я вижда като едно цяло и да черпи идеи от всички. Неговият семинар е обиколка из всички възможни нейни клонове, както и в биология, физика и химия. За него казват: 

„Израил Моисеевич видя хармония във всяка от науките. Може би най-правилната дума за Израел Моисеевич е търсенето на хармония.“

В търсене на тази хармония Гелфанд набляга на яснотата и езика, на който се изразяват неговите студенти и ученици. В своя семинар той често прекъсва изнасящите речи и задава въпроси, докато не получи възможно най-кратките и съдържателни отговори, докато не извлече смисъла – и така той повтаря стъпките на Сократ като учител. Гелфанд, също като Сократ работи само с честни и достойни хора и служи и за морален пример на своите ученици, във всеки смисъл на думата „морал“ (вкл. и като „дух“). Не е ли именно това ролята на учителя?

Дистанционно преподаване

Какво формира връзката между учителя и ученика? Как се определя разстоянието между тях? Физическа ли е тяхната близост, или умствена? Географска ли е тяхната връзка, или емоционална? Може ли писаното слово да предава чувства – като любопитство, страст към познанието и удивление пред красотата и елегантността на математическия израз?

Израел Гелфанд като водещ математик на своето време смята така. Абстрактното мислене придава друг смисъл на думата „разстояние“. Уникалността на различните ученици е това, което създава разстоянието с учителя, който използва стандартизиран подход на преподаване и за когото това са „недъзи“. Всекидневното присъствие в класната стая с нищо не би им помогнало. Дистанционното обучение би разкрило слабостите на присъственото обучение, като повиши нивото на едни ученици и снижи нивото на други. Първите са с правилна вътрешна мотивация, а вторите са с външно мотивиране, „заставени да учат“ . Външната мотивация е кръпка върху система, което не е пригодена да научи всеки ученик поотделно – тя е създадена за „средния ученик“, една статистическа химера, която не се появява на индивидуално ниво. Когато тя отсъства, учениците се разделят според собствената си уникалност и спадът при някои от тях показва по кой метод те не могат да научат знания и умения.

Гелфанд вярва в индивидуалния подход към учениците – нещо, което никакво разстояние не може да спре. Той създава кореспондентско училище “ВЗМШ” в Москва през 1964-та. Основната цел е да се даде достъп до образование на деца в неравностойно положение – живеещи далече от библиотеки и училища, за които би било финансово много по-тежко да ходят на училище, или да бъдат изпратени в пансионати (училища с пълен пансион). Това дава възможност на децата да учат без да се откъсват от семейната си среда и от близката си среда (села, квартали градове). Така деца, чиято среда е по-лоша от средната, получават същия шанс за индивидуално обучение на високо ниво, каквото и децата в богати квартали и елитни училища.  Гелфанд събира екип от учени и преподаватели от най-високо ниво за това уникално за времето си училище, като Александър Кирилов (математик от световна величина) и най-добрите педагози като чл.кор. Н.Х.Розов, А.А.Егоров и Е.Г.Глаголева. Училището има невероятен успех и има 6000 записани още през първата си година. Ученици от различни области на СССР имат възможността да ползват най-добрите обяснения, да решават сложни задачи и да получат писмена връзка, която превъзхожда по качество присъственото обучение в кварталното училище, ако то въобще съществува там, където са те.  Много от децата, които имат затруднения в първата си, година, преодоляват успешно предизвикателствата и влизат във ВУЗ, за които конкуренцията по това време е много висока. Училището става и място за обучение на педагози, които и до досега проявяват интерес към неговата методика.

Един характерен подход в неговото обучение (идея, взета от сложните системи в биологията, които Гелфанд изучава) е т.нар. „Колективен ученик“, в която децата учат групово, под ръководството на учител:

„„Колективен ученик“ е група ученици под ръководството на учител или учител в кръг, който извършва всеки тест заедно (по един за всички). Групата действа като един ученик, разходите за обучение на групата са равни на разходите за обучение на един ученик. Ако обучението е успешно, както ръководителят, така и всеки член на групата в края на обучението получават сертификат.

Една група „Колективен ученик“ изучава един предмет. Но студентът може да бъде член на няколко групи „Колективни ученици “, с различни лидери.

Подобен подход има няколко силни страни – първо, така се оценява и преподавателя и как той ръководи кръжока; второ, групата има интерес всеки от нея да се справи, защото никой не преминава успешно, ако един не е готов; трето силните ученици преподават на по-слабите и така те самите стават още по-силни. Обяснението помага повече на обясняващия, отколкото на слушателя, добре известен феномен, както и големият учен в областта на системите за управление на бизнеса Ръсел Ейкоф казва (тук перифразираме): Ако искаш да научиш нова област, преподавай я.

Разработени са специални учебни пособия, които отговарят на формата на преподаване, голям процент от учениците успяват да влязат във ВУЗ при тежката изпитна система и високата конкуренция в СССР. Кореспондентското училище се оказва успех, толкова голям, че Гелфанд го пренася в САЩ в Рътгърс, а оригиналното училище работи и досега, разширило се в много други направления освен математиката.

„В нашия век на бързи промени е невъзможно да знаеш всичко. Целта е да се научиш да учиш“

Израел Гелфанд, от материалите за кореспондентската програма в Рутгерс

Израел Гелфанд създава това училище след като емигрира в САЩ. Превеждат се на английски специалните учебници, създадени в СССР. него. Целта е допълнителна подготовка на ученици от прогимназии и гимназии, чрез добре обяснени теми, които са централни за развитието на математическите умения, следващо опита на Гелфанд в самообучението. Учениците в тази програма:

*учат и работят самостоятелно;

* решават предизвикателни математически задачи;

* разбират материала, вместо да го запаметяват;

* изразяват своите идеи и знания по ясен и изричен начин;

* откриват, че математиката може да бъде лесна и интересна.

В учебниците като този за редиците, комбинациите и границите се използва естествен език, бяга се от формализма на новата математика, но същевременно има и прецизност и яснота. Изучават се теми с дълбоки връзки с висшите дялове на математиката като границите, както и методи като методът на математическата индукция. Редиците и комбинациите са най-естествените обекти за упражняване на математическата интуиция на ученика, свързана с умения да обобщава от наблюденията, да открива аналогии между различни проблеми и да изразява елегантно зависимости, които обобщават голям брой частни случаи (както формулите от комбинаториката).  Границите са основата на анализа, един от най-важните дялове на висшата математика и първият, който е бил развит – началото е поставено от сър Исак Нютон, заради физиката.

Книгите на Гелфанд имат подробни описания, чертежи и инструкции за решаване, което заедно с доброто обяснения ги прави незаменими за учениците, които се подготвят самостоятелно. Стилът на Гелфанд продължава да е пример и до днес за педагозите, които трябва да преподават абстрактни понятия като множества и релации на ученици в ранните гимназиални класове. Той не просто преподава факти, той развива умения и подготвя учениците за висшето образование. Школата в САЩ повтаря успехите на тази в СССР и Ню Йорк Таймс пише за него през 2003-а година, както и когато той умира през 2009-а година.  Общата оценка за него е, че е толкова голям преподавател, колкото и учен, създал много имена в различни области, дори в биология и медицина, а успехът на кореспондентските му училища са част от това.

Вземете (Доживотен) абонамент и Подарете един на училище по избор!