Направи дарение на училище!

Кристина Юлиянова Пальова, научен редактор и бележки Лъчезар Томов

Abstract. This article examines the basic number systems from the pre-classical mathematics era to the Roman era given that counting is essentially the doctrine of mathematical science. Throughout the centuries the humans’ need, caused by reality, has led to the emergence of different types of number systems that help simplify the abstract nature of numbers. This way trade and many other domestic servicing have become possible. 

Разбери повече за БГ Наука:

***

Keywords: Numeral systems, history of mathematics, communication

Но какво всъщност представлява бройната система? Това е правило за именуване и записване на цели числа чрез краен брой знаци, наречени цифри. Бройните системи се разделят на два вида – позиционни и непозиционни като определящият фактор за тяхната класификация е дали стойността на цифрата зависи от мястото ѝ в записа на числото. В основата на позиционните бройни системи стоят т.нар. основи или бази. Най-често се употребяват четиринадесет основи, които определят броя на числата, използвани при работата с дадената система (фиг. 1). За да става ясно дадено число към коя бройна система принадлежи, то често до него се пише и основата. Например числото 50 в десетичната бройна система бихме записали като 50(10), а в двоичната – 110010(2). 

Фиг. 1.

Има две основни тези за начина на възникване на броенето. Първата е, че то е възникнало спонтанно в различни места по света, независими едно от друго. Някои учени обаче отхвърлят тази теория. Така например през 1913 г. американският антрополог У. Ч. Ийлс анализирал триста и седем различни системи за броене на северноамериканските индианци. Той стигнал до извода, че сто четиридесет и шест (над една трета) от тях са десетични, а сто и шест (над една трета) са комбинации между петична, десетична и/или двадесетична система. Според него приликите в бройните системи в различните краища на света свидетелстват, че броенето вероятно е възникнало в един регион и оттам е започнало да се разпространява. 

Преди да възникнат бройните системи обаче, хората е трябвало да преминат от конкретното към общото. Преди повече от 250 000 години нашите прадеди развили умението да броят, което изключително много улеснявало тяхното ежедневие . Важно е да се отбележи, че първоначално те отчитали не количествени, а качествени изменения в предметите. И до днес в някои езици има запазени качествени термини от тази епоха на мислене на човека. Така например в стария език на остров Фиджи съществуват различни думи, обозначаващи десет еднакви предмета: „бола“ означава десет лодки, а „коро“ – десет кокосови ореха. 

Преминаването от качествено към количествено мислене е изключително важна стъпка към модерната математика и сегашната ни представа за числата, тъй като способността за различаване на количествени белези свидетелства за по-голяма степен на развитие. Абстрактната представа за числото пет постепенно започва да се откъсва от битовото понятието „пет животни“. 

Почти сигурно е, че едно от първите помощни средства за броене, които древните хора са употребявали, са частите на тялото. Този метод съвсем естествено води до използването на основи пет, десет и двадесет. Така например племето фасу от Нова Гвинея използвало пръстите на ръката за числата от едно до пет, дланта да шест, китката за седем, долната част на ръката за осем. За тях носа представлявал числото осемнадесет. Номадските племена еленовъди използвали подобна система. Те изразявали стадо от деветдесет и четири елена по следния начин – трима души върху един, плюс още половин човек, едно чело, две очи и един нос. Чукчите, племе от Североизточен Сибир, също използвали тази система: за тях „ръка“ означава пет (броят на пръстите на ръката), а „човек“ двадесет. Стадо от сто елена биха онагледили като пет човека.

Освен с частите на тялото, хората са си служели и с други външни помощни средства на паметта като например с т.нар. рабош. Най-старият намерен такъв инструмент е от планините Лебомбо, намиращи се на границата между ЮАР и Свазиленд. Костта от Лебомбо (фиг. 2) представлява фибула (малък пищял) от бабун, върху която ясно личи поредица от 29 нареза, направени преди около 37 000 години. Рабошите работят на принципа на взаимното еднозначно съответствие или, казано с други думи, съответствие „едно към едно“ между реални обекти и символи. Това допотопно пособие се оказало толкова ефикасно, че се използвало чак до началото на XX век (фиг. 3).

Фиг. 2. Костта от Лебомбо.

Фиг. 3. Двуредов рабош за вземане на хляб на кредит от хлебаря в с. Голямо Бельово, Пазарджишко, 1927 г.

Друг пример за външно помощно средство за запаметяване са прочутите кипу (фиг. 4) на древните инки. Те били изработвани от разноцветни конци от вълна на лама или алпака с множество навързани по тях възли и нанизани на общ шнур или въже. Възлите на отделните нишки показвали различни числа, които се определяли от броя на усукването на конеца. По-големите числа или суми се изразявали с помощта на групи от възли. Съществуват и теории, които обаче все още не са доказани, че цветове на нишките съответства на вида предмети, които са подложени на дадено преброяване. 

Фиг. 4. Кипу.

Следващата фаза на развитие на броенето и математиката е елементарната аритметика. Много племена от цял свят използват т.нар. кумулативно броене. Този вид система се основава на простото събиране и изваждане. При нея по-големите числа се получават от събиране на по-малките. Примери за това са системите на племената гумгулгал (фиг. 5) и камиларои (фиг. 6). Основата при този вид системи е малка – при племето гумгулгал е две, а при камиларои – три. Някои племена в Африка също са ползвали подобни системи. Те са изразявали числото десет по следния начин: 10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2. При тях основата също е две.

Фиг. 5 и 6. Бройните системи на племената гумгулгал и камиларои

Маите изобретили своя позиционна бройна система с основа на двадесет, която не е повлияна от останалите евразийски цивилизации. Всички числа са можели да се записват само с три символа – нула или още наречена черупка, едно (точка) и пет (хоризонтална черта) (фиг. 7). Всички числа в двадесетичната система, които са по-големи от деветнадесет, се записват вертикално като степен на двадесет, за разлика от десетичната, където числата се записват хоризонтално като степен на десет. Така например числото тридесет и три се изразява по следния начин: във втори разред се поставя една точка, а в първи – две черти и три точки. Единичната точка във втори разред е равна на двадесет (1.20), което се добавя към останалите символи от първи разред. При това групиране се получава изразът (1.20)+1+1+1+5+5, който е равен на тридесет и три (фиг. 8). Начинът на извършване на аритметични действия в двадесетична бройна система е почти идентичен с този при познатата ни десетична. Събирането и изваждането представляват групиране на различни символи във всеки разред. При събирането ако в разред се получат пет или повече точки, то те се заменят с хоризонтална черта, а при получаване на четири или повече черти, то те се изтриват и в горния разред се поставя точка. При изваждането важат същите правила – ако нямо достатъчно точки в даден разред, то една хоризонтална черта се заменя с пет точки, ако няма достатъчно черти, то точки от точка от горния разред се заменя с четири черти в долния (фиг. 9). За умножението пък маите са използвали таблица подобна на днешната (фиг. 10).

Фиг. 7. Числата на маите от 1 до 19.

Фиг. 9. Събиране и изваждане при маите.

Фиг. 10. Таблицата за умножение при маите.

Дотук разглеждахме ранните и по-прости етапи в развитието на броенето и бройните системи. В следващите епохи системите се групират по начин на записване на цифрите, а не по вида на основата, която използват. 

Първият и най-прост начин за записване на цифрите е чрез групиране. При него по-големите числа включват в себе си повече рабошови черти. Така например числото 4 може да се записва като IIII. Установено е, че четири е най-голямата група от предмети, която човешкият ум може да възприеме без да брои. По тази причина по-големите числа като пет се записват като се добави една хоризонтална черта към група от четири вертикални. Друг начин за работа с тази система е методът за събиране и изваждане като при римските числа, при който поставянето на по-голяма цифра пред по-малка цифра означава събиране, а обратното – изваждане. Така например VI е еквивалентно на шест, а IV – на четири. Древните египтяни също използват този вид записване. Тяхната бройна система е с основа десет и те имат отделни знаци за числата десет, сто, хиляда и така до милион (фиг. 11). В един разред се записват до девет еднакви символа (за числата от едно до девет), които са подреждани така че лесно да бъдат разпознавани. Въпреки че тази система е лесна за запаметяване, си има и своите недостатъци. Дори при цифрите от едно до десет се налага използването на няколко знака, а при по-големите тази бройка може да достигне и до осем. Египтяните решили този проблем като започнали да използват т.нар. йератическо писмо. 

Фиг. 11. Таблица, представляваща йероглифните числа, техните йеретически съответствия и стойностите с арабски цифри.

Вторият начин за записване е чрез мултиплициране. Тук записаните една до друга в някаква последователност цифри се умножават, а не се събират. В Китай и до днес използват тази система. В нея има символи за числата от едно до девет и за десет, сто и хиляда. Големите числа се записват, като цифрите от едно до девет съответно се умножат по десет, сто или хиляда (фиг. 12). Тази система позволява записването на числата от едно до десет с един символ, от единадесет до двадесет – с два, тези до деветдесет и девет – с три. Този метод на записване е по-труден за запомняне, но заема по-малко място върху хартията. 

Фиг. 12. Образуване на числата в китайската бройна система.

Третият начин за записване  на числата, по който работи и йератическото писмо, е с помощта на код. Тук всяко голямо кратно число – 10, 20, 30 и т.н.; 100, 200, 300 и т.н.; 1000, 2000, 3000 и т.н., си има отделен знак, с който се записва. По този начин едно четирицифрено може да се запише с помощта на четири символа. Недостатъкът на тази система е, че големият брой на специфични символи обаче прави тази система трудна за запаметяване. Това обаче може да е направено умишлено при разработването ѝ, тъй като по това време само високообразованите хора са били посветени „посветени в тайните“ на числата. Друг тип кодова система е записването на цифрите с букви. Той се ползвал от древните гърци (фиг. 13), евреите (фиг. 14) и българите (фиг. 15). 

Фиг. 13. Римските числа.

Фиг. 14. Числата в иврит.

Фиг.15. Числата в старобългарския език.

Четвъртият и последен начин за записване на числата е чрез позициониране. По своята същност този метод си прилича с мултипликацията, но тук мястото на символа в числото показва от кой разред е и каква е неговата стойност. Позиционните системи балансират между удобство при използване и лесно заучаване. Именно заради това те са най-широко разпространените в днешно време. Те обаче могат да функционират само при наличието на нулата. Без нея няма как да се покаже, че числата, изписани с две и пет – 25, 205 и 250, всъщност са с различна стойност. Този проблем е решен от китайците през III в. пр. н. е. Те оставяли разстояние между числата на мястото на нулата. 

Предполага се, че първата цивилизация, използвала позиционна система още преди трето хилядолетие преди новата ера, е вавилонската. Шумерите възприемат шестдесетичната числова система, чиято основа е 60 (фиг. 16). Поради тази причина те въвеждат специални символи за числата шестдесет и три хиляди и шестстотин и техните реципрочни. Тази позиционна бройна система позволява лесно записване на по-големите числа без да се налага смятане. При нея записването на знаците ставало в колона. Ако в някоя от колоните липсвал знак то те оставяли празно място. Например записът на числото 1,_,1 означава следното: (1.3600)+(николко.60)+1=3601 по десетичната система. Това довело до раждането на „вавилонската нула“. Тя обаче никога не се пишела в края на числото и това все пак създавало някои проблеми. Така например 15 може да си е просто 15, но също така 150 или 1500. В Древна Месопотамия използвали и дроби, но тъй като не пишели десетична запетая, се предполага, че стойността на дадено число се е разбирала от контекста, в който се използвал. Така същото число 15 може да е и 1,5.

Фиг. 16. Клинопис.

С някои от тези бройни системи се работи и до днес. Така например двоичната бройна система се използва в програмирането. Всички цифри се представят с помощта само на 0 и 1. Числата от 0(10) до 9(10) биха изглеждали по следния начин в тази бройна система: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000 и 1001. Аритметичните действия се извършват по правила, много сходни с тези при десетичните числа. Разликата е, че се използват само 0 и 1. За да демонстрираме как се извършват действията събиране (фиг. 17), изваждане –(фиг. 18) и умножение (фиг. 19), ще вземем числата 18 – 10010(2), и 11 – 1011(2):

                                                                   Фиг. 17. Събиране.                                                                    

Фиг. 18. Изваждане.

Фиг. 19. Умножение и правила за умножение в двоична бройна система.

Както стана ясно, през вековете бройни системи са се появявали на множество места. Въпреки това разликите между тях са минимални и всички те се записват с помощта на четири основни принципа. Развитието на бройните системи свидетелства за напредъка на хората и тяхното общо, споделено математическо мислене. Разглеждайки най-ранните опити на човека да си обясни основите на аритметиката, а с нейна помощ и всичко, което го заобикаля, ни дава ясна представа колко далеч сме стигнали в разгадаването на мистериите на света, но в същото време и колко много път ни остава, докато сглобим пълната картина за Вселената. 

Библиография

И. Г. Башмакова, Е. И. Берьозкина, А. И. Володарски, Б. А. Розенфелд, А. П. Юшкевич, том 1 От най-древни времена до началото на новото време, „Наука и изкуство“, 1968

Д.Я.Стройк. Кратък очерк по история на математиката, „Наука и изкуство“, 1970

C.Boyer (author), Uta C. Merzbach (contributor). A History of Mathematics, Wiley; 3rd Edition (December 27, 2010)

1. Knuth. The Art of Computer Programming. Volume 2, 3rd Ed. Addison–Wesley. pp. 194–213, „Positional Number Systems“.

Вземете (Доживотен) абонамент и Подарете един на училище по избор!