Направи дарение на училище!

Анри Поанкаре, превод: Неда Недева от английски език, Олга Николова (по френския оригинал), научен редактор и бележки д-р Лъчезар Томов

Коментар от научния редактор: в това есе Анри Поанкаре засяга темата за относителността на движението и теорията на относителността, като защитава тезата, че принципът на относителността не е революционен, а удобна за ползване конвенция. В това есе Айнщайн изобщо не е споменат – говори се за принцип на относителността на Лоренц, от Лоренцовите трансформации на координатите, които Айнщайн ползва в теорията си. Есето показва, `e Понкаре не приема революционността на относителността на движението и го смята за конвенция, която удобно може да бъде възприета, или не, според желанието на физиците. Тук могат да се видят и неговите топологични идеи (той е един от създателите на топологията под даденото от него име analysis situs – анализ на положението), когато пише за деформацията на пространството и за геометрията като характеристика на измервателните инструменти и твърдите тела.

Разбери повече за БГ Наука:

***

Една от причините да се върна към тези въпроси, които съм разисквал тъй често, е неотдавнашната революция в идеите ни за механиката. Може би принципът на относителността, както го разбира Лоренц, ще ни представи една изцяло нова концепция за времето и пространството и следователно ще ни накара да изоставим някои изводи, които досега са ни изглеждали несъмнени. Нима не смятаме, че геометрията е изобретена от ума – несъмнено на базата на опита, но без да ни бъде наложена от него, така, че веднъж установена, геометрията е защитена от всякакви ревизии и от нови набези на опита? Но ето че експериментите, върху които се базират новостите в механиката, изглежда разклащат тази представа. За да решим какво да мислим по този въпрос, трябва да припомня сбито някои от фундаменталните идеи, които се опитах да докажа в предишните си статии. 

Първо бих искал да премахна идеята за мнимото чувство за пространство, което локализира нашите усещания във вече готово пространство. Понятието за това пространство сякаш предхожда целия опит и преди да се позове на опита, има вече всички характеристики на пространството на геометрията. А всъщност какво е това чувство за пространство? Когато искаме да разберем дали едно животно го притежава, какъв експеримент правим? Слагаме близо до него предмети, които то желае, и наблюдаваме дали, без да се лута, то знае как да ги стигне. Как разбираме, че на хората им е дадено това ценно чувство за пространство? Знаем, защото и те могат да свиват мускулите си, за да достигат предмети, чието положение се разкрива чрез дадени усещания. Какво повече има, когато наблюдаваме чувството за пространство в собственото ни съзнание? Отново благодарение на различни усещания, знаем, че чрез еди-какви си движения можем да достигнем предметите, възприемани като причината за тези усещания,  които така премахваме или засилваме. Единствената разлика е, че за да знаем това, не е нужно да извършваме въпросните движения – достатъчно е да си ги представим. Какво друго може да е това чувство за пространство, което разумът е неспособен да обясни, освен някаква сила в дълбините на несъзнаваното, която съответно ние можем да познаем само чрез действията, предизвикани от нея? Точно тези действия са движенията, за които говоря. Чувството за пространство така се свежда до постоянното свързване на определени усещания и движения или до представите за тези движения. (И за да избегна постоянно появяващото се погрешно разбиране, въпреки повторните ми обяснения, нужно ли е още веднъж да кажа, че нямам предвид представата за такива движения в пространството, а представата за усещанията, които ги съпътстват?)

Сега, защо и до каква степен пространството е относително? Ясно е, че ако всички предмети, които ни заобикалят, заедно с нашето тяло и всичките ни измервателни инструменти, бъдат преместени на друго място в пространството, без да бъде променено взаимното им местоположение, ние не бихме забелязали нищо. И всъщност точно това се случва, докато Земята ни придвижва в космоса, без да си даваме сметка за това. По същия начин ние не бихме забелязали, ако всички предмети, заедно с измервателните ни инструменти, се уголемят пропорционално. Така, ние не само не можем да знаем абсолютното разположение на един предмет в пространството, дотам, че изразът “абсолютна позиция на предмета” всъщност е безсмислен и следва да говорим само за мястото му в пространството по отношение на други предмети, но и изразите “абсолютна големина на предмета” и “абсолютно разстояние между две точки” нямат никакъв смисъл. Би следвало да говорим само за отношението между две големини, за отношението между две разстояния. Но има и още: нека предположим, че всички предмети се деформират под влияние на някакъв физичен закон, който е по-сложен от сегашните, и че всички инструменти за измерване се деформират под влиянието на същия този закон. Това също не бихме могли да забележим. Съответно пространството е много по-относително, отколкото обикновено си мислим. Можем да забележим само промените във формата на предметите, ако те се различават от промените във формата на измервателните ни инструменти.

Нашите инструменти са твърди тела или са направени от няколко свързани твърди тела, подвижни едно спрямо друго, чиито относителни движения отчитаме чрез означения по същите тези тела, чрез преместването на някакъв индекс по скала от степени, като точно по тези скали разчитаме показанията на инструмента. Така ние знаем дали инструментът се е придвижил като едно непроменливо твърдо тяло, защото в този случай самите означения на скалите не биха били променени. Инструментите ни също включват и оптични лещи, чрез които обхващаме с поглед разни неща, и съответно можем да кажем, че лъчът светлина също е сред инструментите ни.

Дали изначалната ни, интуитивна идея за пространство ни учи на нещо повече? Вече видяхме, че тя се свежда до постоянното свързване на дадени движения и дадени усещания. Това означава, че крайниците, с които извършваме движенията, играят ролята на измервателни инструменти. Макар по-неточни от инструментите на учените, те са ни достатъчни в ежедневието и чрез тях децата, както и древните хора, измерват пространството или, за да бъдем по-точни, изграждат пространството, доколкото го изискват обикновените ни нужди. Нашето тяло е първият ни измервателен инструмент. Точно като другите инструменти, и то се състои от твърди части, подвижни една спрямо друга, и определени усещания ни информират за относителните размествания на тези части, така че, както при изкуствените инструменти, знаем дали то е променило позицията си като непроменливо твърдо тяло. За да обобщим, можем да кажем, че основните елементи на нашите инструменти – дадени на детето по природа и на учения благодарение на човешкия гений – са твърдото тяло и лъча светлина.

Предвид тези условия, пространството може ли да има геометрични характеристики, независими от инструментите, които използваме, за да го измерваме? Както споменахме, пространството може да претърпи някаква деформация, която ние не бихме забелязали, ако и инструментите ни са се променили заедно с него. В действителност, пространството е аморфно, то няма определена форма или обем, то е гъвкаво и се адаптира към всичко; няма собствени характеристики. Да се занимаваме с геометрия означава да изучаваме характеристиките на нашите инструменти, т.е. на твърдите тела. 

Но нашите инструменти са несъвършени и следователно геометрията би трябвало да се променя с всяко тяхно подобрение. Производителите им биха могли да изписват на брошурите следното: “Предлагам много по-добро пространство от конкурентите си: по-просто, по-практично и по-удобно”. Знаем обаче, че не стоят така нещата. Можем да се изкушим да кажем, че геометрията е изучаването на характеристиките, които нашите инструменти биха имали, ако бяха съвършени. Но за тази цел би трябвало да знаем какво е съвършеният инструмент, а ние не знаем, защото такъв няма. И бихме могли да дефинираме идеалния инструмент само чрез геометрията, а така се образува порочен кръг. И стигаме до извода, че геометрията е изучаване на даден набор закони, които не се различават от тези, на които се подчиняват инструментите ни, но са много по-прости, закони, които не управляват никой предмет в природата, но които умът ни може да си представи. В този смисъл геометрията е възприето мислене, конвенция, някакъв груб компромис между любовта ни към простото и желанието ни да не се отдалечаваме много от това, на което ни учат инструментите. Това конвенционално мислене определя какво е пространство и какво е съвършеният инструмент.

Казаното дотук за пространството важи и за времето. Не искам да говоря за времето така, както го разбират учениците на Бергсон, като протяжност, която, вместо да бъде чисто количество, лишено от всякакви качества, е, така да се каже, самото качество, чиито частично взаимопроникващи се, различни елементи се различават качествено едни от други. Тази протяжност не може да служи като инструмент на учения. Тя може да поеме такава роля само в случай, че бъде променена в същността си, само ако се превърне в пространство, както казва Бергсон. Трябва да стане всъщност измерима – това, което не може да бъде измерено, не може да бъде обект на науката. И така измеримото време е също относително. Ако всички явления станат по-бавни и заедно с това, се забавят и часовниците ни, ние не бихме забелязали. И няма значение какъв точно е този закон на забавянето, стига да бъде един и същ за всички явления и за всички часовници. Характеристиките на времето, следователно, не са нищо друго, освен характеристиките на часовниците ни, точно както характеристиките на пространството са просто тези на измервателните ни инструменти. 

И това не е всичко. Психологическото време, Бергсоновата протяжност, от която тръгва времето на учения, служи, за подреждането на явленията, случващи се в едно и също съзнание. То е неспособно да подреди две психологически явления, които се случват в две различни съзнания, и a fortiori не може да направи това с две физически явления. Едно нещо се случва на Земята, друго – на Сириус. Как бихме могли да разберем дали едното се е случило преди или след другото, или пък едновременно? Единствено позовавайки се на конвенциите, възриети от хората. 

А можем да разгледаме относителността на времето и пространството от съвсем друга гледна точка. Да вземем законите, на които се подчинява светът. Те могат да бъдат изразени чрез диференциални уравнения. Наблюдението ни показва, че тези уравнения не се променят, ако правоъгълните координатни оси се променят, стига осите да останат неподвижни, нито пък ако началната точка на времето се промени, нито ако заменим неподвижните оси на координатната система с такива, които се движат по права линия или по същия модел. Ако ми позволите, бих нарекъл относителността психическа, когато става дума за първата гледна точка [описана по-горе], и физическа – при втората [тази, описана тук]. Веднага се вижда, че физическата относителност е много по-ограничена от психологическата. Като пример казахме, че нищо не би се променило, ако умножим всички дължини по една и съща константа, стига това да се случи с всички предмети и инструменти. Но ако умножим всички координати по една и съща константа, е възможно диференциалните ни уравнения да се променят. Те биха се променили, ако системата е с подвижни, въртящи се оси, защото тогава трябва да въведем простата и съставна центробежна сила. Именно по този начин експериментът на Фуко ни показва въртенето на Земята. Има нещо тук, което разклаща идеите ни за относителността на пространството, идеи, базирани на психологическата относителност, и това противоречие е затруднило доста философи.

Нека разгледаме въпроса малко по-отблизо. Всички части на света зависят една от друга. Колкото и далеч да е звездата Сириус, без съмнение тя има влияние върху това какво се случва на Земята. Тогава, ако искаме да напишем диференциалните уравнения, които управляват света, тези уравнения или ще са неточни, или трябва да отразяват конкретното състояние на целия свят. Няма как да има една система от уравнения за Земята и друга – за Сириус. Трябва да има само една, приложима за цялата Вселена.

Защото ние не наблюдаваме директно диференциалните уравнения. Ние наблюдаваме крайни уравнения, които са пряк превод на видимите феномени и от които диференциалните уравнения се извеждат чрез диференциране. Диференциалните уравнения не се променят, когато променяме осите по някой от начините, описани по-горе, но това не важи за крайните уравнения. Всъщност промяната в осите ще ни принуди да променим интегралните константи. Съответно принципът на относителността не важи за директно наблюдаваните крайни уравнения, а само за диференциалните.

Как можем да стигнем от крайни уравнения до диференциални уравнения, които са техните интеграли? Нужно е да знаем няколко определени интеграла, различаващи се един от друг по стойностите на интегралните константи, а след това да елиминираме тези константи чрез диференциране. Само едно от тези решения се осъществява в природата, въпреки че има безброй много, които са възможни. За да образуваме диференциалните уравнения, следва да знаем не само онова, което е осъществено, но и всичките които са възможни.

Защото, ако имаме една единствена система от закони, приложими за цялата Вселена, наблюдението ще ни покаже само едно решение, онова, което е реализирано, тъй като има само един “екземпляр” на Вселената. Именно в това е основната трудност.

Освен това, поради психологическата относителност на пространството, ние можем да наблюдаваме само онова, което нашите инструменти могат да измерят. Например, те ще ни дадат разстоянията между звездите или между различните тела, които разглеждаме. Но няма да ни дадат координатите им спрямо фиксирани или подвижни оси, чието съществуване е изцяло въпрос на конвенция. Ако включим тези координати в нашите изчисления, то получаваме една фикция, която може да е удобна, обаче си остава фикция. Ако искаме нашите изчисления да представят директно това, което виждаме, следва да включим разстоянията сред независимите променливи, а тогава другите променливи ще изчезнат от само себе си. Ето в това ще се състои нашият принцип на относителността, но тогава той не би имал никакъв смисъл. Той би показвал само, че сме въвели помощни променливи в уравненията, едни паразити, които не представляват нищо реално и които можем да премахнем.

Тези трудности ще изчезнат, ако не държим на абсолютната прецизност. Различните части на света са взаимосвързани, но понеже разстоянията все пак са толкова огромни, въздействието им една на друга е толкова слабо, че бихме имали право да го пренебрегнем; тогава нашите уравнения ще се разделят на отделни системи – една, приложима на Земята, друга – на Слънцето, трета – на Сириус, а сигурно и някои приложими на много по-малки светове като една лабораторна маса.

Тогава вече няма да е вярно, че има само един “екземпляр” на Вселената: в една лаборатория може да има много маси. Ще можем да започнем един експеримента наново, като променяме условията. Няма да знаем само едно решение, единственото, което е осъществено, а безброй много възможни решения, и така лесно ще стигнем от крайни до диференциални уравнения.

От друга страна, ние няма просто да знаем относителните разстояния между различните тела в един от тези малки светове, а ще знаем разстоянията между тях и телата в съседните малки светове. Можем така да направим, че само вторите разстояния да се променят, докато първите остават константни. В този случай ние сякаш променяме осите, спрямо които се разполага първият малък свят. Звездите са твърде далеч, за да влияят значително на нашата планета, но ние ги виждаме и благодарение на тях можем да разположим нашия свят спрямо оси, свързани с тези звездите. Ние имаме нужните средства, за да измерим както разстоянията между телата в нашия земен свят, така и координатите на тези тела спрямо системата от оси, определена от един свят извън нашия. Така погледнато, принципът на относителността придобива смисъл: той става доказуем.

Нека да си припомним все пак, че стигнахме до този резултат, пренебрегвайки някои действия, и че не приемаме принципа за приблизителен, а за абсолютен. Виждаме, че той остава валиден, независимо колко далеч са нашите малки светове едни от други. Приемаме, че той важи за точните уравнения на Вселената и това твърдение няма как да се окаже грешно, приложен към цялата Вселена, принципът на относителността става недоказуем.

Нека се върнем на случая, който споменахме малко по-нагоре. Една система е разположена ту спрямо неподвижни, ту спрямо подвижни оси. Ще се променят ли уравненията? Да, според обикновената механика. Това вярно ли е? Това, което виждаме, не са координатите на телата, а тяхното взаимно разположение на дадени разстояния. Следователно, можем да съставим уравненията, на които се подчиняват тези разстояния, като елиминираме другите характеристики, които са просто паразитни променливи, невъзможни за наблюдение. Това елиминиране е все така възможно. Обаче, ако бяхме продължили с координатите, щяхме да имаме диференциални уравнения от втори ред. И напротив, тези, до които щяхме да стигнем, след като елиминираме всичко, което е извън наблюдението, щяха да са от трети ред, така че да ни отворят път към много повече възможни решения. В този случай принципът на относителността е все още приложим. Когато преминем от фиксирани към въртящи се оси, уравненията от трети ред няма да се променят. Това, което ще се промени, са уравненията от втори ред, които дефинират координатите, но тези уравнения са интеграли на първите, и точно като при всички интеграли на диференциалните уравнения, има включена константа на интегрирането. Именно тази константа не остава същата, ако преминем от постоянни към въртящи се оси. Но, понеже приемаме, че системата ни е напълно изолирана в пространството, че тя е цялата Вселена, няма как да знаем дали тя се върти. Затова уравненията от трети ред са тези, които представят какво виждаме.

Вместо да мислим за цялата Вселена, нека да се съсредоточим върху нашите малки и отделни светове. Нека да си представим, че те не упражняват механично въздействие един на друг, но са видими един за друг. Ако някой от тези светове се завърти, ние ще видим, че се върти. Ние ще знаем, че, стойността, която следва да дадем на току-що споменатата константа, зависи от скоростта на въртене и така конвенцията, приета в механиката, се потвърждава.

Така разбираме значението на принципа на физическата относителност; вече не става дума за проста конвенция. Принципът е доказуем и следователно може да не бъде доказан. Той е истина, установена от опита, но какъв е смисълът на тази истина? Лесно можем да го изведем от предишните ни изводи: взаимното привличане на две тела клони към нула, ако разстоянието между тях се увеличава неограничено. Два отдалечени свята се държат така, сякаш са независими един от друг; и разбираме по-добре защо принципът на физическата относителност е по-тесен от този на психологическата. Вече не става дума  просто за необходимост, наложена от естеството на нашия ум, а за истина, установена от опита, на която опитът налага граници.

Този принцип на физическата относителност може да служи за дефиниране на пространството. Той ни дава, така да се каже, нов измервателен инструмент. Нека да поясня: как може едно твърдо тяло да ни позволи да измерваме или по-точно, да конструираме пространството? Когато преместваме тялото от една позиция в друга, забелязваме, че е възможно да го прилагаме първо към една фигура, после към друга и се съгласяваме да смятаме двете фигури за еднакви. В това наше съгласие се корени произходът на геометрията. На всяко възможно преместване на тялото отговаря трансформация на самото пространство, но формата и размерът на тялото не се променят. Геометрията не е друго, а именно знанието за взаимовръзките между тези промени в пространството, или казано на математически език: изучаването на структурата на групата, образувана от тези трансформации, тоест, групата на движенията на твърдите тела.

След като установихме това, ето ни и другата група от промени, които не засягат нашите диференциални уравнения и това е и друг начин за дефиниране на еднаквостта на две фигури. Няма повече да казваме: две фигури са еднакви, когато едно и също твърдо тяло може да съвпадне първо с едната, после с другата фигура. Ще казваме: две фигури са еднакви, когато една и съща механична система, достатъчно отдалечена от съседните ѝ, за да бъде смятана за изолирана, и поставена първо по такъв начин, че различните ѝ материални точки да съвпаднат с една фигура, а после по същия начин да съвпаднат с друга, се държи по един и същ начин.

Тези две концепции различават ли се в основата си? Не. Едно твърдо тяло приема формата си под влияние на взаимното привличане и отблъскване на отделните си молекули и тази система от сили трябва да е в равновесие. Да дефинираме пространството по такъв начин, че твърдото тяло запазва формата си, когато позицията му се промени, означава да го дефинираме така, че уравненията, които описват равновесието на тялото, не се променят при промяна на осите. Защото тези уравнения на равновесие са само частен случай на общите уравнения на динамиката, които, според принципа на физическата относителност, не могат да бъдат променяни от смяната на осите на координатната система.

Твърдото тяло е механична система като всяка друга. Единствената разлика между нашата предишна дефиниция на пространството и новата е, че тази нова дефиниция е по-обща в определен смисъл: тя позволява замяната на твърдото тяло с всяка друга механична система. Нещо повече, новата конвенция не само дефинира пространството, но също така и времето. Учи ни какво са два едновременни момента, какво са два еднакви интервала от време или какво е двоен интервал от време.

Една последна бележка: принципът на физическата относителност, както вече казахме, е факт, експериментално доказан по същия начин, както свойствата на естествените тела. Като такъв, той е обект на постоянно преосмисляне, но геометрията трябва да избегне подобни ревизии. За тази цел, тя трябва отново да стане конвенция и съответно принципът на относителността трябва да бъде приет като конвенция. Казахме какво е експерименталното му значение – то е, че взаимното привличане между две много отдалечени системи клони към нула, ако разстоянието между тях се увеличава неограничено. Опитът ни учи, че това е приблизително вярно, но не може да ни учи, че това е изцяло вярно, защото разстоянието между две системи винаги ще остане крайно. Но няма нищо, което да ни спре да предположим, че това е изцяло вярно. Но нищо не ни пречи да предположим, че е изцяло вярно. Нищо не ни спира, дори и опитът да изглежда сякаш отрича принципа. Нека да предположим, че взаимното привличане след спад, когато разстоянието се е увеличило, започва отново да нараства. Нищо не би ни спряло да допуснем, че на по-голямо разстояние, привличането отново ще намалее и накрая ще достигне нулата. Тогава принципът се представя като конвенция и това го освобождава от атаките на опита. Той е твърдение, което ни е подсказано от опита, но което приемаме свободно.

Каква тогава е революцията, до която доведе скорошният прогрес на физиката? Принципът на относителността в предишния му вид трябва да бъде изоставен. Той е заменен от принципа на относителността според Лоренц. Става дума за трансформациите на “групата на Лоренц”, които не променят диференциалните уравнения на динамиката. Ако предположим, че системата вече не разчита на неподвижни оси, а на оси, които се характеризират с различни трансформации, трябва да кажем, че всички тела се деформират, че например сферата се променя в елипса, в която малката ос е успоредна на  транслацията на осите. Самото време трябва да бъде основно променено. Ето, двама наблюдатели, първият е свързан с неподвижните оси, а вторият – с въртящите се, но всеки вярва, че другият е в покой. Не само, че фигурата, която първият вижда като сфера, се вижда на втория като елипса, но и две събития, които според първия наблюдател са едновременни, за втория – не са.

Всичко се случва сякаш времето е четвъртото измерение на пространството и като, че ли четириизмерното пространство, резултат от комбинирането на обикновеното пространство и времето, може да се завърти не само около ос на обикновеното пространство, такава, че времето да не се променя, но и около всяка друга ос. За да може сравнението да бъде математически коректно, ще се наложи да припишем напълно въображаеми стойности на тази четвърта координата. Четирите координати на една точка в новото ни пространство няма да бъдат x, y, z и t, а x, y, z и t -1. Но аз не настоявам за това. Основното нещо, което трябва да забележим, е, че в новата концепция за време и пространство вече няма две изцяло ясни независими понятия, които могат да се разглеждат отделно, а две части на едно цяло, две части, които са толкова тясно преплетени една с друга, че не могат лесно да бъдат отделени.

Друга бележка: опитах преди да обясня връзката между две събития, които са се случили в две различни места, като казах, че едното ще се смята за случило се преди другото, ако може да се смята за негова причина. Това определение стана неадекватно. Според тази нова механика няма ефект, който да се пренесе моментално през пространството, тъй като максималната скорост на движение е тази на светлината. При тези условия може да се случи така: събитието А (като следствие на самото разбиране за времето и пространството) може да не е нито следствие на събитието В, нито причина за него, ако разстоянието между двете места на случване е такова, че светлината да не може да го измине достатъчно бързо, нито от мястото В до А, нито от А до В.

Какво следва, в лицето на тези нови концепции? Принудени ли сме да променим заключенията си? Със сигурност не. Ние сме приели нещо, защото ни изглежда удобно, и нищо не може да ни принуди да го изоставим. Днес някои физици искат да приемат нова конвенция. Това не е защото, те са принудени, а защото смятат, че новата конвенция е по-удобна, това е всичко. И тези, които не са на това мнение, могат с пълно право да си останат със старата конвенция, за да не се мъчат да променят старите си навици. Аз смятам, между нас казано, че така и ще правят за дълго време и занапред.

Библиография

H.Poincare, J. Bolduc (translator), Mathematics And Science Last Essays, 1913, Dover publication, New York, https://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.87455 

1. Poincare, E.Flammarion (editeur),Dernières pensées, bibliothèque de philosophie scientifique 1920, http://henripoincarepapers.univ-lorraine.fr/chp/hp-pdf/hp1913dp.pdf

Вземете (Доживотен) абонамент и Подарете един на училище по избор!