Направи дарение на училище!

Кийт Девлин, превод: Ани Николова, 11а НГДЕК; научен редактор Лъчезар Томов

Заглавието на този месец е изявление на ученичка от гимназията. Ще се върна при нея след време.

САЩ се нареждат много по-зле от повечето от нашите икономически конкуренти по математически показатели на учениците от гимназията. Правени са много опити за подобряване на това мрачно представяне, но никой не е успял. Според мен (и в никакъв случай не съм сам в това) причината е ясна. Всички тези опити са фокусирани върху подобряване на основните математически умения. За разлика от това акцентът трябва да бъде на друго място.

Разбери повече за БГ Наука:

***

Математиката е начин на мислене за задачите и проблемите в света. Изградете правилното мислене и уменията идват до голяма степен сами.

Многобройни проучвания през последните тридесет години показват, че когато хората на всяка възраст и всяко ниво на способност са изправени пред математически предизвикателства, които се появяват естествено в реалния контекст, който има значение за тях и когато резултатът има пряко значение за тях, те бързо постигат високо ниво на компетентност. Колко високо? Обикновено 98 процента, толкова високо. Описвам някои от тези проучвания в моята книга The Math Gene (Basic Books, 2000). Също така давам обяснение защо същите тези хора, когато са представени със същите математически предизвикателства в традиционния модел в класната стая с хартия и молив, се представят на ниското ниво от 37 процента.

Доказателствата са ясни. Не че хората не могат да мислят математически. Това е, че те имат огромни проблеми да го правят в деконтекстуализирана, абстрактна обстановка.

И така, защо продължаващият фокус върху уменията? Тъй като много хора, дори тези, които са с власт и влияние, не само не са напълно наясно с констатациите, които току-що споменах, те дори не разбират какво е математиката и как работи. Всичко, което виждат, са уменията и те погрешно мислят, че това е математиката. Като се има предвид, че за повечето хора последната им близка среща с математиката беше училищен час по математика, основан на умения, не е трудно да се разбере как възниква това погрешно схващане. Но объркването на математиката с владеенето на умения е същото като мисленето на архитектурата е за зидария или объркването на музиката с овладяването на музикалната скала.

Разбира се основните умения са важни. Но те са просто инструментите за математическо мислене. В предкомпютърната ера индустриално общество като Съединените щати се нуждаеше от голяма работна сила от хора с владеещи основни математически умения, които да могат да изпълняват задачи, възложени им от други. Но на днешното работно място монетата на царството е творческо решаване на проблеми, обикновено в съвместни групи, като се използва математическо мислене, когато е необходимо. Колко добре подготвяме днешните ученици за живота в тази среда? Как да се сравним с нашите конкурентни държави?

Отговорът е, че не е добре. В международно проучване, проведено през 2003 г., студенти от четиридесет държави бяха попитани дали са съгласни или не с твърдението: „Когато уча математика, се опитвам да науча отговорите на задачите наизуст“. Сред всички ученици средно 65 процента не са съгласни с това твърдение – което е обнадеждаващо, тъй като това е безнадежден начин да се научи математика – но 67 процента от американските деца са съгласни с него!

И така, какво правим грешно?

Хората не са съгласни по някои подробности, но изглежда има широк (макар и не универсален) консенсус по три основни причини:

• Нашата учебна програма по математика (всъщност това са учебни програми, тъй като всеки щат има своя собствена, но оплакването се отнася за всички) съдържа твърде много задължителни теми, всяка от които може да бъде преподавана само повърхностно – често наричана „широка миля“ , инч дълбочина „проблем;
• Прекалено много учители по математика не разбират добре предмета, който преподават;
• В повечето класни стаи математиката се преподава по строг, основан на правила начин.

Това предупреждение, което направих относно споразумението, че тези три фактора не са универсални, важи преди всичко за последния елемент от този списък. Влезте във всяка американска класна стая по математика и ще бъдете посрещнати от една от двете много различни сцени.

В първата сцена, най-често срещаната, ще видите учениците да седят в спретнато организирани редици, обърнати към учителя, който стои отпред. На бюрото пред всеки ученик най-вероятно ще видите учебник, тетрадка, химикал или молив и може би калкулатор. В началото на всеки клас учителят ще прекара известно време на бялата дъска, обяснявайки някакво ново правило или техника и работейки през един или два примера. След това учениците ще отворят своите учебници и ще продължат да работят чрез редица зададени примери, чиито решения изискват току-що показаната техника. Те в по-голямата си част ще работят сами и в мълчание. Когато срещнат проблем, те потърсяг за помощ учителя, а не един друг. Когато изпълнят задачата, цикълът започва отначало. Този метод на преподаване е известен като „традиционният подход. „Това е подходящо име, тъй като се използва от началото на математиката преди около три хиляди години.

Другата, по-рядко срещана сцена изглежда много по-хаотична. Групи от ученици седят около кръгли маси, обсъждайки как да се реши конкретен проблем, или заставайки до бялата дъска, спорейки за най-добрия начин да продължите. Учителят се движи из стаята, като говори на свой ред с различните групи, като прави предложения как да постъпи или посочва възможни грешки в определен ред от мотиви, които учениците следват. Понякога учителят ще се обади на цялата група да поръча и ще помоли една група да обясни своето решение на останалата част от класа или да изнесе кратка мини-лекция за определена концепция или метод. Това понякога се нарича „прогресивен подход“.

Въпросът кой е по-добрият метод е в основата на скандалните „математически войни“, които бушуват в Калифорния и Ню Йорк (в частност). Въпреки че можете да намерите същите два педагогически подхода в много страни, само в САЩ въпросът се превърна в проблем за ожесточени и често гневни дебати. Като аутсайдер, идващ от Обединеното кралство доста късно в кариерата ми, това, което ме порази от самото начало, беше, че голяма част от дебата включваше построяването и атакуването на „сламени мъже“ (аргумент, при който оригиналното твърдение се подменя с друго – сламеният мъж, което се опровергава). Традиционалистките учители биха били обвинени, че не правят нищо, освен да тренират безмилостно учениците си в основни процедурни умения, без да обръщат внимание на развитието на математическите концепции, докато прогресистите ще бъдат изгорени в образи, защото не оценяват основните умения (или виждат необходимостта да ги практикуват) и даване разводнено съдържание на учениците, пълно, с добри намерения, но в което няма истинска математика. Несъмнено можете да намерите примери за всеки, но в по-голямата си част тези карикатури съществуват само в съзнанието на критиците, които правят тези твърдения, и нито едно от тях не е дори близко до истинатА. По-скоро това, което откривате, са хиляди учители, които правят всичко възможно, опитвайки се да балансират необходимостта от концептуално разбиране с необходимостта да се упражняват основни умения, но несигурни кой е най-добрият начин да продължат, особено когато става въпрос за мотивиране на своите ученици . Междувременно, при липса на ясни доказателства за това как най-добре да се процедира, повечето учители съвсем разбираемо се опират повече или по-малко на същите методи на преподаване, които самите те са имали. Преобладаващо това е традиционният метод,въпреки че фактът, че никой не е успял да накара този подход да работи (за по-голямата част от учениците) от три хиляди години, кара да се чудим дали има по-добър начин.

Сега най-накрая има доказателства и се събират още. Това означава, че суровата вяра и сляпата вяра най-накрая могат да започнат да бъдат заменени от обоснован избор, основан на доказателствата. Това със сигурност ще се случи, но колко време ще отнеме след толкова ожесточена битка, предстои да разберем. Най-вероятно конфликтът ще бъде напълно успокоен едва след като същото се е случило с някои от по-видните привърженици. Междувременно очаквайте постепенна промяна, тъй като все повече учители, родители и политици осъзнават нарастващата маса твърди данни.

Един от изследователите, който търпеливо събира тези данни, е Джо Боyлър и наскоро тя публикува кратко, четимо резюме на някои от нейните открития под формата на книга: Какво общо има това с математиката? Въпреки че е написана за родители, вярвам, че книгата на Боулър трябва да се чете от всички, занимаващи се с математическо образование. Може да поставите под съмнение някои от нейните заключения. Всъщност някои го направиха, когато нейната работа за първи път стана известна в САЩ, около 2003 г., въпреки че последващите й изследвания, според мен, отговориха на някои от повдигнатите въпроси. Но в област като математическото образование, където е трудно да се получат убедителни твърди доказателства и където по-голямата част от твърденията за ефикасността на различни педагогики се основават на нищо повече от екстраполация от личен опит (на учителя, а не на ученика), всяко задълбочено проучване като нейното заслужава да бъде сериозно обмислено. Не на последно място, защото Боулър фокусира своето проучване не върху учителите, а върху обучаваните ученици. Неотдавнашната й книга формира основата за останалата част от това есе. Цитатът, който взех за заглавието си, можете да намерите на страница 40.

Боулер започва кариерата си като учител по математика в родното си Обединено кралство, прехвърля се в академичните среди (Лондонския университет) и в продължение на няколко години е професор по математическо образование (а оттам и мой колега) в Станфорд. След това, през 2006 г., тя се завърна във Великобритания, за да заеме новосъздадената катедра „Мария Кюри“ по математическо образование в Университета в Съсекс в Англия. Това лято тя се завръща в Станфорд, където най-много искаме да я върнем.

В продължение на много години Боулър проведе интервюта със стотици ученици както от традиционно преподаваните часове по математика, така и от тези с по-прогресивен подход. Един от въпросите, които тя им зададе, беше: Какво е необходимо, за да имаш успех в математиката? Далеч най-често срещаният отговор, който тя получава от ученици, преподавани по традиционен начин, е да се обръща много внимание .

Сред другите отговори, които Боулър получи в училища с традиционна педагогика, които тя цитира в своята книга, са [стр.41]:

„Просто не ме интересува, първо, дайте ми формула, трябва да запомня отговора, да го приложа и това е всичко.“

Друг интервюиран ученик – Ребека, беше добросъвестна, мотивирана и умна и редовно постигаше оценки 6+ по математика. Тя успя да следва методите, които нейният учител демонстрира в клас, и можеше да ги възпроизведе перфектно. Но тя не разбираше какво прави и в резултат на това се смяташе за слаба в математиката. Когато Боулър я попита защо мисли така, тя отговори: „Защото не мога да си спомня добре нещата и има толкова много неща за запомняне.“ [стр.164.]

Училището до коловозите

За период от четири години Боулър проследи напредъка на седемстотин ученици през кариерата им в гимназията в три гимназии. Един от трите беше „Гимназия Рейлсайд“. Това нее истинското му име. Това училище беше в градска среда, близо до железопътна линия. За първи път тя посещава училището през 1999 г., след като чува, че те изглежда постигат забележителни резултати, въпреки лошото местоположение и опустошения външен вид на училищните сгради.

Редица характеристни неща откроиха Рейлсайд. Първо, учениците изобщо не бяха групирани по ниво, като всички взеха алгебра като първи курс, а не само учениците с по-висок успех. Второ, вместо да преподават поредица от методи, като факториране на полиноми или решаване на неравенства, училището организира учебната програма около по-големи теми, като „Какво е линейна функция?“ Студентите се научиха да използват различни видове представяне, думи, диаграми, символи на таблици, предмети и графики. Те работиха заедно в групи със смесени способности, като отличниците си сътрудничиха с тези с по-слаб успех и беше очаквано и насърчавано да обясняват работата си един на друг. [стр.58-68]

Родителите, чието собствено обучение по математика беше по-традиционно, като учениците седяха на редици, в класове, предавани по способности, учителите им показваха методи и след това работеха безшумно сами – и това е практически на всички родители – често е трудно да повярват, че този подход би могъл да работи. Те вярват, че разхлабената структура ще означава, че децата няма да овладеят уменията достатъчно добре, за да преминат тестове и че присъствието на по-слаби ученици ще повлече по-добрите. Често те поддържат това убеждение, въпреки че свободно признават, че традиционният подход не е работил за тях и противно на собствения им опит всеки ден на работа, където в продължение на много години те са разбрали, че съвместната работа е много ефективна и че когато някой, който знае как да направи нещо помага на някой, който не го прави, и двамата се учат и се възползват от опита

През деветнадесети век и голяма част от двадесети, повечето индустриални работници наистина работеха тихо и сами,в големи открити офиси или на поточни линии, под надзора на мениджър. Училищата, които винаги са били предназначени да подготвят децата за живот като възрастни, са били структурирани по подобен начин. Важен житейски урок беше да можеш да следваш правилата и да мислиш по общоприетия начин. Но днешният свят е съвсем различен – поне за тези от нас, които живеем във високо развити общества. Компаниите отдавна са възприели нови, по-колективни начини на работа, където творческото решаване на проблеми е ключът към успеха – поне за тези, компании, които не са излезли от бизнеса – но като цяло училищата все още не са осъзнали, че трябва да се променят и да започнат да работят по подобен начин.

Разбира се, както предполагат много родители, може да е различно в училищата. В крайна сметка те ще спорят, това, което работи за възрастни, може да не е успешно за децата. Това е справедлива загриженост. Това е притеснение, което се разглежда пряко от констатациите на Боулър. Другите две училища, които Боулър изучаваше заедно с Рейлсайд, бяха в по-заможни крайградски условия и учениците започнаха с по-високи математически постижения от тези в градското училище. Тъй като тези две училища приеха традиционна форма на обучение, Боулър успя да сравни резултатите на учениците през всичките четири години на гимназията. До края на първата година тя установява, че студентите от Рейлсайд постигат същите нива като студентите от предградията на тестове по алгебра. До края на втората година,учениците от Рейлсайд превъзхождаха своите колеги в двете крайградски училища както по алгебра, така и по геометрия. До последната си година 41% от учениците в Рейлсайд са били в напреднали класове по основи на анализа и анализ, в сравнение с едва 23% от учениците от другите две училища в по-богатите квартали.

Нещо повече, учениците от Рейлсайд се научиха да се наслаждават на математиката и я видяха като полезна. Когато Боулър и нейният екип интервюираха 105 ученици (главно пълнолетни) за техните бъдещи планове, 95% от учениците от двете крайградски училища заявиха, че не възнамеряват да се занимават с математика като предмет, дори тези, които са успели. В Рейлсайд 39% заявяват, че планират да преминат допълнителни курсове по математика.

Когато Боулър посещава клас, който се преподава по подхода на Рейлсайд, и пита учениците върху какво работят, те описват проблема и как се опитват да го разрешат. Когато тя задава същите въпроси на учениците, обучавани по традиционния начин, те обикновено им казват на коя страница от книгата са. Когато тя ги попита: „Но какво всъщност правиш?“ те отговарят „О, аз правя номер 3“. [стр.98]

Британците правят същата грешка

Преди да дойде в Станфорд, докато тя все още работеше в родното си Обединено кралство, Боулър беше започнало подобно проучване във времето, сравнявайки две много различни училища, които тя нарече Феникс Парк (в района на работническата класа) и Амбър Хил (намиращ се в по-богат квартал). Първият възприе съвместен подход, основан на проекти, подобен на Рейлсайд, а вторият – по-традиционна педагогика. [стр.69-83]

Боулър беше избрала тези две училища, тъй като, въпреки че бяха в различни социални региони, приемът им за ученици беше демографски много сходен, влизащите им ученици на тринадесетгодишна възраст бяха изпитали един и същ образователен подход, а учителите в двете училища бяха добре квалифицирани.

Една разлика между английските училища и тези в Калифорния е, че Великобритания не следва идиотската практика на САЩ да разделя математиката на отделни под-предмети, като Алгебра I, Алгебра II или Геометрия; по-скоро просто учат математика. Но освен това, това много приличаше на проучването, което впоследствие ще проведе в Калифорния, а резултатите бяха поразително подобни.

Във Финикс Парк учениците получиха значителна свобода в часовете по математика. Обикновено им се дава избор между различни проекти, по които да работят, и се насърчават да решат естеството и посоката на своята работа. Един ученик обясни на Боулър как са работили с тези думи: [стр.70]

„Обикновено първо си задаваме задача и ни учат уменията, необходими за изпълнението на задачата, а след това продължаваме със задачата и молим учителя за помощ.“

Друг описва процеса по следния начин: [стр.70]

„Просто си зададете задачата и след това се заемете с нея … изследвате различните неща и те ви помагат в това … така че различните умения са нещо като съобразени с различни задачи.“

В една задача, която Боулър описва, на учениците просто им е казано, че определен обект има обем 216 (безразмерни единици), и са помолени да опишат как може да изглежда. В друго, на учениците било казано, че един фермер има дълги тридесет и шест метра ограда и били помолени да намерят най-голямата площ, която оградите могат да оградят.

Ако смятате, че някое от тях е „повърхностно“ или „не е истинска математика“, тогава почти сигурно сте живото доказателство, че традиционното обучение по математика замърсява ума, за да не види многото възможности, които всяка задача предлага, и количеството математическо мислене, необходимо за извършване на изследването. В книгата си Боулър скицира част от творческото мислене, което учениците от Финикс Парк внесоха в двете задачи, и резултатите от обучението по математика. Според мен това, което тя описва, е ранното развитие на творческите, съвместни умения за решаване на проблеми, които са от съществено значение в днешния свят. Както един студент й обясни: [стр.74]

„Ако намерите правило или метод, опитайте се да го адаптирате към други неща“

Докато учениците от Парк Финикс откриваха, че математиката е предизвикателна и забавна, осигурявайки отличен изход за тяхното естествено човешко любопитство, нещата в Амбър Хил вървят съвсем различно. Там учениците работеха усилено, но повечето от тях не харесваха математиката. Те започнаха да вярват, че математиката е предмет, който включва само запаметяване на правила и процедури. Както се изрази един ученик: [стр.75]

„В математиката има определена формула, до която да стигнем, да речем от А до Б, и няма друг начин да я получим. Или може би има, но трябва да запомните формулата, трябва да я запомните. „

Именно в Амбър Хил студент предостави на Боулър цитата, която формира заглавието на колоната за този месец.

Въпреки че учениците от Амбър Хил прекарват повече време в задачи от своите колеги във Финикс Парк, те смятат, че математиката е набор от правила, които трябва да се запомнят. Успешните направиха това не чрез разбиране на математическите идеи, а като се научиха да следват указания. Най-голямото указание, което им казва как да решат проблем, е методът, който учителят току-що беше обяснил на дъската, или работещият пример, който непосредствено го предшества в учебника. Друго указание е да се използва цялата информация, предоставена във въпроса, но нищо друго.

Тази стратегия може да работи добре до изпита в края на годината, където тези указания не присъстват. Предсказуемо дори онези студенти от Амбър Хил, които се справиха добре през срока, се представиха зле на тези изпити. И на националните изпити, които всички британски студенти полагат на шестнадесетгодишна възраст, студентите от Финикс Парк лесно ги превъзхождат. Изправен пред проблем, който не са разпознали като познат тип, студент от Амбър Хил може да замръзне или напразно да се мъчи да запомни правилната формула, докато учениците от Финикс Парк се опитват да го осмислят и адаптират метод, който според тях може да проработи.

В допълнение към обучението си в класната стая в двете училища, Боулър също интервюира учениците за използването на математика извън училище. По това време много от тях имаха работа през уикенда. Всички четиридесет от интервюираните от нея Амбър Хил декларираха, че никога, никога няма да използват обучените от тях методи във всяка ситуация извън училище. За тях това, което са ги учили в часовете по математика, е странен вид код, който може да се използва само на едно място, в математическата класна стая. За разлика от тях, учениците от Финикс Парк бяха уверени, че ще използват методите, които са научили в училище, и й дадоха примери за това как вече са използвали научената им в училище математика в работата си през уикенда.

В последващо проучване, което тя проведе няколко години по-късно, Боулър изследва двадесет и четири годишните възпитаници от Финикс Парк и Амбър Хил. Когато бяха на училище, социалната им класа, определена от работата на родителите им, беше еднаква и в двете училища. Но осем години по-късно младите хора от Финикс Парк работят на по-висококвалифицирани или професионални работни места от възрастните на Амбър Хил. Демонстрирайки как доброто образование може да доведе до социална мобилност нагоре, 65% от възрастните във Финикс Парк са били на по-квалифицирани работни места от родителите си, в сравнение с 23 процента от възрастните в Амбър Хил. Всъщност 52 процента от възрастните в Амбър Хил са били на по-малко квалифицирана работа от родителите си, в сравнение с едва 15 процента от завършилите Феникс Парк. [стр.80-83]

Разбира се, няма да получите тази информация от четенето на компютърно генерирани резултати от стандартизираните тестове, така обичани от образователната система на САЩ. Боулър не намира данните си, като гледа в екрана на компютъра. Тя излиза и разговаря с хората, които са свързани с образованието: учениците и тези, които са били ученици. Питам ви, коя е по-важната информация: резултатът от стандартизиран писмен тест, положен в края на образователен епизод, или ефектът, който образователният епизод е оказал върху съответното лице? Като родител (ако сте такъв), кое изявление ще ви достави повече удоволствие ?:

• • „Поради доброто преподаване детето ми получи 79% на последния си тест по математика“, или

• „Поради доброто преподаване детето ми има много по-добра работа и води далеч по-интересен и по-ползотворен живот от мен.“

Разбира се, преподаването на математика по прогресивен начин изисква учители с повече математически познания, отколкото традиционния подход (където учител с по-слаб опит може просто да следва учебника – което между другото е причината американските учебници по математика да са толкова дебели). Освен това е много по-взискателно да се преподава по този начин, което го прави работа, която заслужава далеч по-висок статус и по-добър размер на заплащането, отколкото е в момента. И е много по-трудно да се съберат данните, за да се измери ефективността на образованието, тъй като това означава да се разгледат действителните продукти на процеса: истински, живи хора. Добре дошли в живота в глобалната икономика на знанието от двадесет и първи век. Искаш ли да останеш в играта, Америка?

Вземете (Доживотен) абонамент и Подарете един на училище по избор!